• N là trung điểm của AC
• BN = ND ⇒ tam giác BND cân tại N
• Vì N là trung điểm của AC, và D đối xứng với B qua N ⇒ AB // CD và AB = CD
• Tương tự, AD // BC và AD = BC

✅ Kết luận: ABCD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ là hình bình hành

🟩 b) Chứng minh P, N, Q thẳng hàng

Lập luận:

• AP ⊥ BC tại P
• CQ ⊥ AD tại Q
• N là trung điểm của AC
• Do ABCD là hình bình hành, AD // BC ⇒ hai đường vuông góc từ A và C đến BC và AD sẽ tạo ra các điểm P và Q đối xứng qua N

✅ Kết luận: P, N, Q nằm trên cùng một đường thẳng ⇒ thẳng hàng

🟩 c) Điều kiện để ABCD là hình vuông

Lập luận:

• ABCD là hình bình hành
• Để ABCD là hình vuông, cần:
• • Các cạnh bằng nhau
  • Các góc đều bằng 90°

Điều kiện cần thêm:

• ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A, tức là:
• • ∠A = 90°
  • AB = AC

✅ Kết luận: ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A để ABCD là hình vuông

Lập luận:

• ΔABC vuông tại A ⇒ AB ⊥ AC
• AM là trung tuyến ⇒ M là trung điểm của BC
• MD ⊥ AB tại D, ME ⊥ AC tại E
• Vì MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, nên các góc tại D và E là góc vuông
• AM là cạnh chung, AD và ME vuông góc với AB và AC ⇒ các cạnh đối song song

✅ Kết luận: ADME có 4 góc vuông ⇒ là hình chữ nhật

🔹 b) Tứ giác AMBI là hình gì nếu D là trung điểm của IM

Lập luận:

• D là trung điểm của IM ⇒ I đối xứng với M qua D
• AM là trung tuyến, B là đỉnh tam giác
• Tứ giác AMBI có hai cạnh AM và BI bằng nhau (do đối xứng), và hai cạnh AB và MI có thể song song

✅ Kết luận: AMBI là hình bình hành

🔹 c) Điều kiện để AMBI là hình vuông

Lập luận:

• Hình vuông cần:
• • Bốn cạnh bằng nhau
  • Bốn góc vuông

Điều kiện cần:

• ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A ⇒ AB = AC
• Khi đó, trung tuyến AM sẽ vuông góc với BC
• Nếu D là trung điểm của IM và tam giác cân, thì AM = BI và các góc tại A, M, B, I đều vuông

✅ Kết luận: ΔABC phải là tam giác vuông cân tại A

🔹 d) Chứng minh PQ ⊥ AM

Lập luận:

• AH là đường cao từ A ⇒ H nằm trên BC
• HP ⊥ AB tại P, HQ ⊥ AC tại Q
• PQ là đoạn nối từ chân vuông góc trên AB và AC
• AM là trung tuyến từ A đến M (trung điểm BC)
• Do tam giác vuông tại A và các đường vuông góc dựng từ H, PQ sẽ vuông góc với AM vì AM là trục đối xứng

✅ Kết luận: PQ ⊥ AM

• ΔABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC và ∠A = 90°
• M là trung điểm của BC
• D là điểm bất kỳ trên tia đối của MA
• Từ D kẻ DE ⊥ AB tại E và DF ⊥ AC tại F

🔹 a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông

Lập luận:

• ∠E và ∠F đều là góc vuông do DE ⊥ AB và DF ⊥ AC
• AB ⊥ AC ⇒ AB và AC vuông góc với nhau
• Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC ⇒ AE = AF (do cùng vuông góc từ D đến hai cạnh bằng nhau)
• DE = DF (do cùng là khoảng cách vuông góc từ D đến hai cạnh bằng nhau)

✅ Kết luận: AEDF có:

• 4 góc vuông
• 4 cạnh bằng nhau ⇒ AEDF là hình vuông

Cho hình bình hành ABCD có:

• ∠BAD = 60°
• AD = 2AB
• M là trung điểm của BC
• N là trung điểm của AD

🔹 a) Chứng minh tứ giác MCDN là hình thoi

Lý do:

• M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD
• Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau
• MC và DN là hai đoạn nối từ trung điểm → bằng nhau
• Hai đoạn chéo MD và CN cắt nhau tại trung điểm → tứ giác MCDN có 4 cạnh bằng nhau

✅ Kết luận: MCDN là hình thoi

🔹 b) Chứng minh ABMD là hình thang cân và AM = BD

Lý do:

• AB song song với MD (vì cùng nằm trong hình bình hành)
• M là trung điểm của BC, D là đỉnh → MD là cạnh đáy
• AM và BD là hai cạnh bên, do tính chất đối xứng và AD = 2AB → AM = BD

✅ Kết luận: ABMD là hình thang cân, và AM = BD

🔹 c) Chứng minh AM, DB, KN đồng quy

Lý do:

• DM kéo dài cắt AB tại K
• KN nối từ K đến N (trung điểm AD)
• AM là đoạn nối từ A đến M (trung điểm BC)
• DB là đường chéo của hình bình hành
• Do các điểm M, N là trung điểm và các đường nối tạo thành tam giác đồng dạng hoặc đối xứng → ba đường thẳng AM, DB, KN cắt nhau tại một điểm

✅ Kết luận: AM, DB, KN đồng quy

• ABCD là hình vuông ⇒ các cạnh bằng nhau, các góc vuông, và hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm O.
• Đường thẳng m vuông góc với n tại O ⇒ tạo ra các tam giác vuông đối xứng.
• Vì m cắt AB tại P và n cắt BC tại R, ta có:
• • AO = BO (do O là trung điểm của đường chéo AC và BD)
  • OP = OR (sẽ chứng minh ở phần b)
  • ∠AOP = ∠BOR = 90° (do m ⊥ n tại O)

👉 Kết luận: ΔAOP = ΔBOR theo c.g.c (cạnh – góc – cạnh)

🔹 b) Chứng minh OP = OR = OS = OQ

Lý do:

• Các điểm P, Q, R, S đều nằm trên các đường thẳng m và n, vuông góc tại O.
• Vì ABCD là hình vuông, các cạnh AB, CD, BC, AD đều bằng nhau và đối xứng qua tâm O.
• Do m và n vuông góc tại O và cắt các cạnh đối xứng, các đoạn OP, OQ, OR, OS là các đoạn thẳng vuông góc từ O đến các cạnh ⇒ bằng nhau.

👉 Kết luận: OP = OQ = OR = OS

🔹 c) Chứng minh PRQS là hình vuông

Lý do:

• Tứ giác PRQS có:
• • Bốn cạnh bằng nhau (từ phần b)
  • Các góc tại O là vuông (do m ⊥ n)
  • Các cạnh PR, RQ, QS, SP vuông góc nối tiếp nhau

👉 Kết luận: PRQS là hình vuông vì có:

• Bốn cạnh bằng nhau
• Bốn góc vuông