a) Chứng minh \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}\) Step 1: Chọn gốc toạ độ là O (tâm đường tròn ngoại tiếp). Chúng ta biết rằng trong một tam giác, \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}\). Step 2: Biểu diễn các vector \(\vec{HA}\), \(\vec{HB}\), \(\vec{HC}\) theo O. \(\vec{HA}=\vec{OA}-\vec{OH}\)\(\vec{HB}=\vec{OB}-\vec{OH}\) \(\vec{HC}=\vec{OC}-\vec{OH}\) Step 3: Cộng các vector đã biểu diễn. \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=(\vec{OA}-\vec{OH})+(\vec{OB}-\vec{OH})+(\vec{OC}-\vec{OH})\)\(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})-3\vec{OH}\) Step 4: Thay thế \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\) bằng \(\vec{OH}\) và đơn giản hóa. \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=\vec{OH}-3\vec{OH}\)\(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=-2\vec{OH}\)Oh, wait, the question is \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}\).Since \(-2\vec{OH}=2\vec{HO}\), the equality holds. Answer: Đẳng thức \(\vec{\mathbf{HA}}\mathbf{+}\vec{\mathbf{HB}}\mathbf{+}\vec{\mathbf{HC}}\mathbf{=2}\vec{\mathbf{HO}}\) đã được chứng minh. b) Chứng minh \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}\) Step 1: Đây là một tính chất cơ bản của trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O trong tam giác ABC. Tính chất này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép tịnh tiến hoặc tính chất của trọng tâm G. Ta biết \(\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\).Ta cũng biết O, G, H thẳng hàng và \(\vec{OH}=3\vec{OG}\) (đường thẳng Euler). Step 2: Thay thế \(\vec{OG}\) vào phương trình đường thẳng Euler. \(\vec{OH}=3\times \frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\)\(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\) Answer: Đẳng thức \(\vec{\mathbf{OA}}\mathbf{+}\vec{\mathbf{OB}}\mathbf{+}\vec{\mathbf{OC}}\mathbf{=}\vec{\mathbf{OH}}\) đã được chứng minh. c) Chứng minh \(\vec{GH}+2\vec{GO}=\vec{0}\) Step 1: Sử dụng tính chất của đường thẳng Euler, với O là gốc toạ độ. Ta có \(\vec{OH}=3\vec{OG}\). Step 2: Biểu diễn \(\vec{GH}\) theo \(\vec{OG}\) và \(\vec{OH}\). \(\vec{GH}=\vec{OH}-\vec{OG}\)Step 3: Thay thế \(\vec{OH}=3\vec{OG}\) vào biểu thức \(\vec{GH}\). \(\vec{GH}=3\vec{OG}-\vec{OG}\)\(\vec{GH}=2\vec{OG}\) Step 4: Sắp xếp lại phương trình để khớp với yêu cầu đề bài. \(\vec{GH}-2\vec{OG}=\vec{0}\)Lưu ý rằng \(-2\vec{OG}=+2\vec{GO}\). \(\vec{GH}+2\vec{GO}=\vec{0}\)Answer: Đẳng thức \(\vec{\mathbf{GH}}\mathbf{+2}\vec{\mathbf{GO}}\mathbf{=}\vec{\mathbf{0}}\) đã được chứng minh.

Đẳng thức cần chứng minh là \(\vec{GG_{1}}+\vec{GG_{2}}+\vec{GG_{3}}=\vec{0}\).

Theo công thức tâm tỉ cự, vector tổng trọng số của các vector vị trí từ I đến các đỉnh là vector không:\(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)Answer: Đẳng thức \(\mathbf{a}\overrightarrow{\mathbf{IA}}\mathbf{+b}\overrightarrow{\mathbf{IB}}\mathbf{+c}\overrightarrow{\mathbf{IC}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\) là đúng. 

xã