☠️☠️ SIÊU ĐỀ HÌNH HỌC – CẤP IMO (CỰC HẠNG)

⏱ 240+ phút
📐 Hình học tổng hợp thuần túy
🚫 Không dùng giải tích / tọa độ

🔥 BÀI TOÁN DUY NHẤT (MAXIMUM DIFFICULTY)

Cho tam giác ABC nhọn.
Gọi H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\left(\right. A B C \left.\right)\).

• Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao từ A, B, C.
• Gọi Ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF (đường tròn Euler).
• Một đường thẳng qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N sao cho:

\(\frac{H M}{H N} = \frac{A B}{A C}\)

• Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của BM, CN với đường tròn \(\left(\right. A B C \left.\right)\).
• Gọi K là giao điểm của PQ và DE.

✨ YÊU CẦU

1️⃣

Chứng minh rằng:

\(P , Q , H , O \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{vi} \hat{\text{e}} \text{n}\)

2️⃣

Chứng minh rằng K là trung điểm của DE.

3️⃣

Chứng minh rằng:

\(H K \bot P Q\)

4️⃣

Chứng minh rằng PQ là đường Simson của H đối với tam giác ABC.

5️⃣ (CÂU HỦY DIỆT – IMO SHORTLIST LEVEL)

Chứng minh rằng khi đường thẳng \(M N\) quay quanh H, thì đường thẳng \(P Q\) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, và hãy xác định đường tròn đó.

-.-. ---. -. / -. --- -. / .-.. # -- / -.-. --- -. / #

117 869 : 58 = 2032 (dư 13 )

kết quả cụ thể : 2032,22413793

hỏi chấm dùng AI??????????????????

hi

( 45755/685)*23≈1536.29927007

Số 126 có 3 ước nguyên tố 2, 3 và 7

1+1=2

P/s : 8b-9a=31

Vì \(\frac{11}{7} > \frac{a}{b} > \frac{23}{29}\)

\(8 b - 9 a = 31\)(1)

\(\Rightarrow 9 a = 8 b - 31\)

\(a = \frac{8 b - 31}{9}\)vì \(a \in N\)

\(8 b - 31 \geq 9\)

\(\Leftrightarrow 8 b \geq 40 \Leftrightarrow b \geq 5\)

\(\Rightarrow \frac{11}{7} > \frac{8 b - 31}{9 b} > \frac{23}{29}\)

\(\Leftrightarrow \frac{11}{7} > \frac{8}{9} > \frac{23}{29}\)

Mà  \(7 > \frac{8}{9} - \frac{31}{9 b} < \frac{11}{7}\)

     \(\frac{8}{9} - \frac{11}{7} < \frac{31}{9 b}\)

      ...... \(\frac{- 43}{63} < \frac{31}{9 b}\)

\(\frac{- 43}{7} < \frac{31}{b}\)

\(\Leftrightarrow - 43 b < 31.7\)

\(b > \frac{31.7}{- 43} = \frac{- 217}{43}\)

\(\Rightarrow b \in N \Leftrightarrow b > 0\)

Mà \(\frac{8}{9} - \frac{31}{9 b} > \frac{23}{29} \Leftrightarrow \frac{8}{9} - \frac{23}{29} > \frac{31}{9 b}\)

\(\Leftrightarrow \frac{25}{261} > \frac{31}{9 b} \Rightarrow 25.9 b > 31.261\)

\(\Leftrightarrow b > \frac{31.261}{25.9} = \frac{899}{25} = 35 , 9\)

Vậy \(5 < b < \frac{899}{25}\)

\(\Rightarrow 5 < b < 35\)

Đến đây bạn lập bảng .