Để chứng minh rằng trong tập hợp \( X \) luôn tìm được hai phần tử \( x \) và \( y \) \( x - y \) thuộc tập hợp \( E = \{3; 6; 9\} \), ta sẽ sử dụng phương pháp nghịch đảo.Giả sử rằng không tìm được hai phần tử \( x \) và \( y \) trong tập hợp \( X \) sao cho \( x - y \) thuộc tập hợp \( E \). Điều này có nghĩa là với mọi cặp phần tử \( x, y \) trong \( X \), \( x - y \) không thuộc \( E \).Tập hợp \( X \) gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số không vượt quá 2006. Do đó, số nhỏ nhất trong \( X \) là 1 và số lớn nhất là 2006.Nếu \( x - y \) không thuộc \( E \), thì \( x - y \) không bằng 3, 6 hoặc 9. Vì vậy, \( x - y \) có thể là bất kỳ giá trị nào từ 1 đến 2006, trừ các 3, 6 và 9.Tuy nhiên, vì \( X \) có 700 phần tử, theo nguyên lý Dirichlet (hoặc nguyên lý hứng), nếu chúng ta lấy 700 phần tử và chia chúng thành các nhóm sao cho mỗi nhóm có ít nhất một phần tử và tổng số phần tử trong tất cả các nhóm là 700, thì ít nhất một nhóm phải có ít nhất 37 phần tử (vì \( 1 + 2 + 3 +... + 36 = 666 \) và 700 - 666 = 34, nhưng 34 + 37 = 71 > 37).Giả sử rằng trong một nhóm có 37 phần tử, chúng ta có hai phần tử \( x \) và \( y \) sao cho \( x - y \) thuộc \( E \). Điều này trái với giả thiết ban đầu rằng không tìm được hai phần tử \( x \) và \( y \) trong \( X \) sao cho \( x - y \) thuộc \( E \).Vì vậy, giả thiết ban đầu là sai và chúng ta luôn tìm được hai phần tử \( x \) và \( y \) trong \( X \) sao cho \( x - y \) thuộc \( E \).