a) Vì \(A H\), \(C K\) vuông góc với \(B D\) (gt)

Suy ra \(A H\) // \(C K\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(A D = B C\); \(A D\) // \(B C\)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) ta có:

\(\hat{A H D} = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\) (gt)

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (do \(A D\) // \(B C\))

Suy ra \(\Delta A D H = \Delta C B K\) (ch-gn)

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(A H\) // \(C K\) (cmt)

Suy ra \(A H C K\) là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(H K\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(B D\) hay \(I B = I D\)

a,Vì ABCD là hình bình hành
=> góc A = C
AB = DC
AD = BC => AE = CF
Xét tam giác AEB và CFD có :
AE = CF ( cmt )
AB = DC ( cmt )
goc A = C
=> tam giác AEB = CFD ( c-g-c)
=> EB = DC ( 2 cạnh tương ứng )

=> góc ABE = CDF ( 2 goc tương ứng )

b) Ta có :
AD = BC ( gT)
=> ED = BF
mà ED // BF ( ABCD là hình bình hành )
nên tứ giác EBFD là hình bình hành

c)
Vì ABCD là hbh
=> AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường (1)
Lại có : EBFD là hbh
=> BD cắt È tại trung điểm của mỗi đường ( 2)
Từ (1)và ( 2) => AC , BD , EF đông quy ( đcpcm)

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE= 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

I really like living in the countryside because life there is peaceful and simple. The cost of living is low, so people don’t have to worry too much about money. The air is fresh, and there are a lot of green spaces such as fields, gardens, and trees. Besides, people in the countryside are very hospitable and friendly. However, sometimes I feel bored because there aren’t many entertainment places. Still, I enjoy the quiet life and the beautiful nature of the countryside.