) Do ABCD là hình bình hành (gt) ⇒ AD // BC ⇒ ∠ADH = ∠CBK (so le trong) Do AH ⊥ BD (gt) CK ⊥ BD (gt) ⇒ AH // CK ∆AHD và ∆CKB có: AD = BC (hai cạnh đối của hình bình hành) ∠ADH = ∠CBK (cmt) ⇒ ∆AHD = ∆CKB (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AH = CK (hai cạnh tương ứng) Tứ giác AHCK có: AH // CK (cmt) AH = CK (hai cạnh tương ứng) ⇒ AHCK là hình bình hành b) Do AHCK là hình bình hành (cmt) I là trung điểm HK (gt) ⇒ I là trung điểm AC Do ABCD là hình bình hành (gt) I là trung điểm AC (cmt) ⇒ I là trung điểm BD ⇒ IB = ID

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Mà E, F là trung điểm của AD, BC (gt)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD ta có:

ED=FB (cmt)

ED // BF (do AD // BC)

Suy ra EDFB là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt)

Suy ra O cũng là trung điểm của EF

Suy ra E, O, F thẳng hàng

*XÉT TAM GIÁC ABC CÓ HAI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN BM VÀ CN CẮT NHAU TẠI G (GIẢ THIẾT) NÊN G LÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC ABC .SUY RA GM=GB/2;GC/2(TÍNH CHẤT TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC)(1)

MÀ P LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA GB (GIẢ THIẾT) NÊN GP=GB/2(2)

Q LÀ TRUNG ĐIẺM CỦA GC (GIẢ THIẾT)NÊN GQ=QC=GC/2(3)

TỪ (1)(2)VÀ(3) SUY RA GM =GP VÀ GN=GQ

*XÉT TỨ GIÁC PQMN CÓ:GM=GP VÀ GN =GQ(CHỨNG MINH TRÊN)

DO ĐÓ TỨ GIÁC PQMN CÓ HAI ĐƯỜNG CHÉO MP VÀ NQ CẮT NHAU TẠI TRUNG ĐIỂM G MỖI ĐƯỜNG NÊN LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra O A M ^ = O C N ^ (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: O A M ^ = O C N ^ (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) A O M ^ = C O N ^ (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a,Do ABCD là hình bình hành nên AB //CD,AB=CD,từ đó AE//CF,AE=EB=DF=EC Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành Tương tự ,tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau b,vì AEFD là hình bình hành nênAD=EF Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC