) Chứng minh AMCK là hình thoi Xét tứ giác AMCK ta có: \(I\) là trung điểm của \(AC\) (theo giả thiết).\(I\) là trung điểm của \(MK\) (vì \(K\) nằm trên tia đối của \(IM\) và \(IK=IM\)). Vì hai đường chéo \(AC\) và \(MK\) cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường, nên tứ giác \(AMCK\) là hình bình hành. Mặt khác, \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) và \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\). Do đó, \(AM=MB=MC=\frac{1}{2}BC\). Vì vậy, \(AM=MC\). Hình bình hành \(AMCK\) có hai cạnh kề \(AM\) và \(MC\) bằng nhau nên \(AMCK\) là hình thoi. b) Chứng minh AKMB là hình bình hành Do \(AMCK\) là hình thoi (đã chứng minh ở câu a)), nên \(AK//MC\) và \(AK=MC\).Mặt khác, \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MC=MB\).Từ đó, ta có \(AK=MB\). Tứ giác AKMB có một cặp cạnh đối \(AK\) và \(MB\) song song và bằng nhau (\(AK//MC\) mà \(MC\) nằm trên \(BC\) nên \(AK//MB\); và \(AK=MB\)).Vậy \(AKMB\) là hình bình hành.

) ΔBHE có \(\angle EHB=90^{\circ }\) và \(\angle EBH=45^{\circ }\). Suy ra \(\angle BEH=180^{\circ }-90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\). Vì \(\angle EBH=\angle BEH\), nên ΔBHE là tam giác cân tại H. Do đó, ΔBHE là tam giác vuông cân. b) Từ câu a), ΔBHE vuông cân tại H, suy ra \(EH=BH\). Tương tự, ΔCGF vuông cân tại G, suy ra \(FG=GC\).Theo giả thiết \(BH=HG=GC\), nên \(EH=HG=FG\).Tứ giác EFGH là hình chữ nhật vì có \(\angle EHG=\angle HGF=\angle GFE=\angle FEH=90^{\circ }\).Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau \(EH=HG\) nên EFGH là hình vuông.

Theo chứng minh trên, tứ giác OBAC có ba góc vuông (\(\angle BOC=\angle OBA=\angle OCA=90^{\circ }\)) nên nó là hình chữ nhật. Ngoài ra, vì A nằm trên tia phân giác Om của \(\angle xOy\), nên khoảng cách từ A đến Ox và Oy là bằng nhau, tức là \(AB=AC\). Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Do đó, OBAC là hình vuông.