Do A B , A C AB,AC là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn ( O ) (O) nên A B O ^ = A C O ^ = 9 0 ∘ ABO = ACO =90 ∘ . Gọi I I là trung điểm O A OA. Xét tam giác O A B OAB vuông tại B B có B I BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I B = I A = I O = 1 2 A O IB=IA=IO= 2 1 ​ AO (1) Xét tam giác O A C OAC vuông tại C C có C I CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I C = I A = I O = 1 2 A O IC =IA=IO= 2 1 ​ AO (2) Từ (1) và (2) suy ra I B = I C = I A = I O IB=IC=IA=IO. Suy ra B , C B,C thuộc đường tròn tâm I I đường kính O A OA. b) Ta có A M . A O = A B 2 . 2 A I = A B . A I AM.AO= 2 AB ​ .2AI=AB.AI. c) Gọi E E là trung điểm M A MA, do G G là trọng tâm Δ C M A ΔCMA nên G ∈ C E G∈CE và G E C E = 1 3 CE GE ​ = 3 1 ​ . Mặt khác M E B E = 1 3 BE ME ​ = 3 1 ​ ( (vì M E = M A 2 = M B 2 ME= 2 MA ​ = 2 MB ​ nên M E = B E 3 ) ME= 3 BE ​ ) Suy ra G E C E = M E B E CE GE ​ = BE ME ​ , theo định lí Thalès đảo ta có: M G MG // B C BC. d) Gọi G ′ G ′ là giao điểm của O A OA và C M CM suy ra G ′ G ′ là trọng tâm Δ A B C ΔABC. Nên G ′ M C M = 1 3 = G E C E ′ CM G ′ M ​ = 3 1 ​ = CE ′ GE ​ Theo định lý Thalès đảo ta có G G ′ GG ′ // M E ME (1) M I MI là đường trung bình trong Δ O A B ΔOAB suy ra M I MI // O B OB, mà A B ⊥ O B AB⊥OB (cmt) nên M I ⊥ A B MI⊥AB, nghĩa là M I ⊥ M E MI⊥ME (2). Từ (1) và (2) suy ra M I ⊥ G G ′ MI⊥GG ′ , Lại có G I ′ ⊥ M K GI ′ ⊥MK (vì O A ⊥ M K OA⊥MK) nên I I là trực tâm Δ M G G ′ ΔMGG ′ Suy ra G I ⊥ G ′ M GI⊥G ′ M tức là G I ⊥ C M GI⊥CM.

Tứ giác $BCED$ nội tiếp, $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ suy ra \widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra E C B ^ = 9 0 ∘ ECB =90 ∘ . Mặt khác E D ⊥ A B ED⊥AB tại D D (gt) suy ra E D B ^ = 9 0 ∘ EDB =90 ∘ . Gọi I I là trung điểm của B E BE. Xét tam giác B C E BCE có B C E ^ = 9 0 ∘ BCE =90 ∘ và C I CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I C = I E = I B = 1 2 B E IC=IE=IB= 2 1 ​ BE. Xét tam giác B E D BED có B D E ^ = 9 0 ∘ BDE =90 ∘ và D I DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên I D = I E = I B = 1 2 B E ID=IE=IB= 2 1 ​ BE. Suy ra B C E D BCED là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I I, đường kính B E BE. b) Xét Δ A E D ΔAED và Δ A B C ΔABC có: B A C ^ BAC chung A D E ^ = A C B ^ = 9 0 ∘ ADE = ACB =90 ∘ Suy ra Δ A E D ∽ Δ A B C ΔAED∽ΔABC (g.g) Suy ra A E A B = A D A C AB AE ​ = AC AD ​ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay A C . A E = A D . A B AC.AE=AD.AB. Mà D D là trung điểm của A O AO (gt) suy ra A D = 1 2 A O AD= 2 1 ​ AO O O là tâm đường tròn đường kính A B AB (gt) nên A O = 1 2 A B AO= 2 1 ​ AB Suy ra A D = 1 2 A O = 1 2 . 1 2 A B = 1 4 A B AD= 2 1 ​ AO= 2 1 ​ . 2 1 ​ AB= 4 1 ​ AB Do đó, A C . A E = 1 4 A B . A B = A B 2 4 AC.AE= 4 1 ​ AB.AB= 4 AB 2 ​ (đpcm).

Chứng minh A B C ^ = C H M ^ ABC = CHM . Vì A M , C N AM,CN là các đường cao của Δ A B C ΔABC nên A M ⊥ B C AM⊥BC và C N ⊥ A B CN⊥AB Suy ra B M H ^ = B N H ^ = 9 0 ∘ BMH = BNH =90 ∘ . Gọi F F là trung điểm của H B HB. Xét tam giác H N B HNB có H N B ^ = 9 0 ∘ HNB =90 ∘ và N F NF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên F N = F H = F B = 1 2 B H FN=FH=FB= 2 1 ​ BH (1) Xét tam giác H M B HMB có H M B ^ = 9 0 ∘ HMB =90 ∘ và M F MF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên F M = F H = F B = 1 2 B H FM=FH=FB= 2 1 ​ BH (2) Suy ra B N H M BNHM là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm F F, đường kính H B HB. Do đó M B N ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ MBN + NHM =180 ∘ (tổng hai góc đối bằng 18 0 ∘ 180 ∘ . hay C B A ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ CBA + NHM =180 ∘ . Mà M B N ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ MBN + NHM =180 ∘ (hai góc kề bù) do đó C B A ^ = M B N ^ CBA = MBN . b) Chứng minh A D C ^ = A H C ^ ADC = AHC . Tứ giác B N H M BNHM nội tiếp nên M B N ^ + N H M ^ = 18 0 ∘ MBN + NHM =180 ∘ Mà A H C ^ = N H M ^ AHC = NHM (đối đỉnh) nên M B N ^ + A H C ^ = 18 0 ∘ MBN + AHC =180 ∘ hay A B C ^ + A H C ^ = 18 0 ∘ ABC + AHC =180 ∘ Mặt khác tứ giác B N H M BNHM nội tiếp đường tròn tâm ( O ) (O) nên A D C ^ + A B C ^ = 18 0 ∘ ADC + ABC =180 ∘ . Do đó A D C ^ = A H C ^ ADC = AHC . c) Chứng minh M A C ^ = M N C ^ MAC = MNC . Ta chứng minh A C M N ACMN là tứ giác nội tiếp. Gọi E E là trung điểm A C AC. Xét tam giác A M C AMC có A M C ^ = 9 0 ∘ AMC =90 ∘ và M E ME là đường trung tuyến nên E M = E C = E A = 1 2 A C EM=EC=EA= 2 1 ​ AC (3) Xét tam giác A N C ANC có A N C ^ = 9 0 ∘ ANC =90 ∘ và N E NE là đường trung tuyến nên E N = E C = E A = 1 2 A C EN=EC=EA= 2 1 ​ AC (4) Từ (3) và (4) suy ra E M = E N = E C = E A EM=EN=EC=EA. Vậy tứ giác A C M N ACMN nội tiếp được đường tròn có tâm E E đường kính A C AC. Suy ra M A C ^ = M N C ^ MAC = MNC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung M C MC của đường tròn tâm E E). d) Chứng minh M A C ^ + 9 0 ∘ = A N M ^ MAC +90 ∘ = ANM . Ta có M A C ^ + A C M ^ = 9 0 ∘ MAC + ACM =90 ∘ (hai góc phụ nhau) Hay A C M ^ = 9 0 ∘ − M A C ^ ACM =90 ∘ − MAC Mà A C M ^ + A N M ^ = 18 0 ∘ ACM + ANM =180 ∘ (tứ giác A C M N ACMN nội tiếp được đường tròn) nên 9 0 ∘ − M A C ^ + A N M ^ = 18 0 ∘ 90 ∘ − MAC + ANM =180 ∘ Suy ra M A C ^ + 9 0 ∘ = A N M ^ MAC +90 ∘ = ANM .

Chứng minh tứ giác B F H D BFHD nội tiếp. Xét đường tròn ( I ) (I) có C F B ^ = 9 0 ∘ CFB =90 ∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra C F ⊥ A B CF⊥AB. C F B ^ = 9 0 ∘ CFB =90 ∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra B E ⊥ A C BE⊥AC Mà C F CF cắt B E BE tại H H nên H H là trực tâm của tam giác A B C ABC Hay A H ⊥ B C AH⊥BC, suy ra H D B ^ = 9 0 ∘ HDB =90 ∘ Gọi K K là trung điểm B H BH. Xét tam giác H D B HDB có H D B ^ = 9 0 ∘ HDB =90 ∘ và D K DK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên K D = K H = K B = 1 2 B H KD=KH=KB= 2 1 ​ BH (1) Xét tam giác H F B HFB có H F B ^ = 9 0 ∘ HFB =90 ∘ và E K EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên K E = K H = K B = 1 2 H B KE=KH=KB= 2 1 ​ HB (2) Từ (1) và (2) suy ra K B = K H = K F = K D KB=KH=KF=KD. Vậy tứ giác B F H D BFHD nội tiếp được đường tròn có tâm K K đường kính B H BH. b) Chứng minh tứ giác A B D E ABDE nội tiếp. Gọi O O là trung điểm A B AB. Xét tam giác A D B ADB có A D B ^ = 9 0 ∘ ADB =90 ∘ và D O DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O D = O A = O B = 1 2 A B OD=OA=OB= 2 1 ​ AB (3) Xét tam giác A E B AEB có A E B ^ = 9 0 ∘ AEB =90 ∘ và E O EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O E = O A = O B = 1 2 A B OE=OA=OB= 2 1 ​ AB (4) Từ (3) và (4) suy ra O D = O E = O A = O B OD=OE=OA=OB. Vậy tứ giác A B D E ABDE nội tiếp được đường tròn có tâm O O đường kính A B AB.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ a) Chứng minh B C D E BCDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O O là trung điểm B C BC. Vì B D , C E BD,CE là các đường cao của Δ A B C ΔABC nên B D ⊥ A C BD⊥AC và C E ⊥ A B CE⊥AB Suy ra B D C ^ = B E C ^ = 9 0 ∘ BDC = BEC =90 ∘ . Xét tam giác B D C BDC có B D C ^ = 9 0 ∘ BDC =90 ∘ và D O DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O D = O C = O B = 1 2 B C OD=OC=OB= 2 1 ​ BC (1) Xét tam giác B E C BEC có B E C ^ = 9 0 ∘ BEC =90 ∘ và E O EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên O E = O C = O B = 1 2 B C OE=OC=OB= 2 1 ​ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra O D = O E = O C = O B OD=OE=OC=OB. Vậy tứ giác B C D E BCDE nội tiếp được đường tròn có tâm O O là trung điểm B C BC. b) Chứng minh A D H E ADHE là tứ giác nội tiếp. Vì B D , C E BD,CE là các đường cao của Δ A B C ΔABC nên B D ⊥ A C BD⊥AC và C E ⊥ A B CE⊥ AB. Gọi M M là trung điểm A H AH (học sinh tự vẽ thêm trên hình) Xét tam giác A D H ADH có A D H ^ = 9 0 ∘ ADH =90 ∘ và D M DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên M D = M A = M H = 1 2 A H MD=MA=MH= 2 1 ​ AH (3) Xét tam giác A E H AEH có A E H ^ = 9 0 ∘ AEH =90 ∘ và E M EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên M E = M A = M H = 1 2 A H ME=MA=MH= 2 1 ​ AH (4) Từ (3) và (4) suy ra A D H E ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M M là trung điểm A H AH, đường kính A H AH.

x=50

x=-10

x=2,4

y=9

1-3x/x-1

-5