a, Xét tam giác AIC vuông tại I có đường cao IE(do BE⊥AC). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông,ta có:

AI² = AE•AC

Tương tự,xét tam giác AKB vuông tại K có dường cao KF(do CF⊥AB).Ta có:

AK² = AF•AB

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

∠A chung

∠AEB = ∠AFC = 90°

Do đó tam giác ABE ~ tam giác ACF(g•g),suy ra tỉ số đồng dạng:

AE/AF = AB/AC => AE•AC = AF•AB

Suy ra ta có AI² = AK², hay AI = AK

b, xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

∠A chung

AE/AB = AF/AC

Do đó tam giác AEF ~ tam giác ABC(c•g•c). Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

Sᴀᴇ𝙵/Sᴀ𝙱𝙲 = (AE/AB)²

Trong tam giác vuông ABE,ta có AE/AB = cos A = cos 60° = 1/2. Vậy

S𝙰ᴇ𝙵/S𝙰𝙱𝙲 = (1/2) ² = 1/4

S𝙰ᴇ𝙵 = 1/4 • S𝙰𝙱𝙲 = 1/4 • 120 = 30 cm²

Vì mBE = -mBE và B nằm trên trục Oy, hai đường thẳng BE và BF đối xứng với nhau qua đường thẳng BH.Do đó:

HBE = HBF

Mặt khác, vì tam giác BCD cân tại B và H là trung điểm CD, BH là phân giác của DBC, nên:

HBC = HBD

Từ đó,ta có:

EBC = (HBC - HBE) = (HBD - HBF) = DBF

Vậy DBF = EBC(đpcm) ​

a, do BK//AD, nên EK/AE = BE/ED(1)

do AB//DG, nên AE) EG = BE/ED(2)

Từ (1) và (2) suy ra EK/AE = AE/EG => AE² = EK•EG

b, ta có AE/EK = DE/EB =>AE/AK /BD= DE/DB(3)

Tương tự:AE/AG = BR(4)

Cộng theo từng vế của (3) và (4) ta có:

AE/AK + AE/AG = DE/DB + BE/DB = BD/BD = 1

c, đặt AB = a, AD = b thì BK/KG = a/CG;CK/b = CG/DG

Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên ta được:

BK/b = a/DG suy ra BK•DG = ab không đổi

Xét tam giác AA'C có M, B, B' lần lượt nằm trên các cạnh AA', A'C, CA và M, B, B' thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có:

MA/MA' •BA'/BC•B'C/B'A=1 <=> MA/MA'•BA'/BC =B'A/B'C

Tương tự xét tam giác AA'B với các điểm M, B, B' ta cũng có:

MA/MA'•CA'/CB = C'A/C'B

Suy ra B'A/B'C + C'A/C'B = MA/MA'(BA'/BC + CA'/CB) = MA/MA'•BC/BC = MA/MA'. (Đpcm)

Xét tam giác AA'C có M, B, B' lần lượt nằm trên các cạnh AA', A'C, CA và M, B, B' thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có:

MA/MA' •BA'/BC•B'C/B'A=1 <=> MA/MA'•BA'/BC =B'A/B'C

Tương tự xét tam giác AA'B với các điểm M, B, B' ta cũng có:

MA/MA'•CA'/CB = C'A/C'B

Suy ra B'A/B'C + C'A/C'B = MA/MA'(BA'/BC + CA'/CB) = MA/MA'•BC/BC = MA/MA'. (Đpcm)