1. Chứng minh \(\triangle O A M = \triangle O C N\):

• \(O\) là trung điểm \(A C\) nên \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A}\).
• Vì \(O , M , N\) thẳng hàng nên \(\overset{\rightarrow}{O M}\) và \(\overset{\rightarrow}{O N}\) tỉ lệ.
• Diện tích tam giác \(\triangle O A M = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O A} \times \overset{\rightarrow}{O M} \mid\),
  \(\triangle O C N = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O C} \times \overset{\rightarrow}{O N} \mid = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O A} \times \overset{\rightarrow}{O N} \mid\).
• Tỉ lệ vectơ và hướng ngược nhau nên diện tích bằng nhau.

2. Suy ra \(M B N D\) là hình bình hành:

• \(O\) trung điểm \(B D\), nên \(\overset{\rightarrow}{O} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{D}}{2}\).
• Vì \(M , N , O\) thẳng hàng và \(\triangle O A M = \triangle O C N\), ta có \(\overset{\rightarrow}{M B} = \overset{\rightarrow}{D N}\).
• Vậy \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối bằng và song song → hình bình hành.

a)

• Vì \(B\) là trung điểm của \(A E\), nên \(\overset{\rightarrow}{E} = 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A}\).
• Vì \(C\) là trung điểm của \(D F\), nên \(\overset{\rightarrow}{F} = 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D}\).
• Tứ giác \(A E F D\):
  \(\overset{\rightarrow}{A E} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\), \(\overset{\rightarrow}{D F} = 2 \overset{\rightarrow}{D C} = 2 \overset{\rightarrow}{A B}\) nên \(A E \parallel D F\) và bằng nhau → hình bình hành.
• Tứ giác \(A B F C\):
  \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C} = \overset{\rightarrow}{F C}\) nên \(A B F C\) là hình bình hành.

b)

• Trung điểm \(A F , D E , B C\) lần lượt là:

\(M_{1} = \frac{A + F}{2} , M_{2} = \frac{D + E}{2} , M_{3} = \frac{B + C}{2}\)

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A + C = B + D\) → tính ra \(M_{1} = M_{2} = M_{3}\).

• là giao điểm hai đường trung tuyến nên tọa độ \(G = \frac{A + 2 B + C}{3}\).
• \(P , Q\) là trung điểm của \(G B\) và \(G C\), tính được:
  \(\overset{\rightarrow}{P Q} = \frac{C - B}{2}\).
• \(M , N\) là trung điểm của \(A C\) và \(A B\), tính được:
  \(\overset{\rightarrow}{M N} = \frac{B - C}{2} = - \overset{\rightarrow}{P Q}\).
• Vậy \(P Q \parallel M N\) và \(P Q = M N\) nên tứ giác \(P Q M N\) là hình bình hành.

a) Chứng minh \(E B F D\) là hình bình hành

• \(E\) và \(F\) là trung điểm của \(A D\) và \(B C\).
• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D \parallel B C\) và bằng nhau.
• Vậy \(E D\) và \(F B\) song song và bằng nhau.
• Do đó, tứ giác \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E , O , F\) thẳng hàng

• \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).
• \(E\) trung điểm \(A D\), \(F\) trung điểm \(B C\).
• Tính vectơ cho thấy \(\overset{\rightarrow}{E F} = 2 \overset{\rightarrow}{E O}\), nghĩa là \(E , O , F\) thẳng hàng.

a) Chứng minh \(A H C K\) là hình bình hành

• \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) nên \(A H \parallel C K\).
• Vì \(A B C D\) là hình bình hành, \(A B \parallel D C\).
• Từ đó, \(A K \parallel H C\) (do \(A\) và \(C\) liên hệ qua \(B D\)).
• Vậy \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song, nên là hình bình hành.

b) Chứng minh \(I B = I D\)

• \(H , K\) là hình chiếu của \(A , C\) trên \(B D\), nên \(H , K \in B D\).
• \(I\) là trung điểm của \(H K\), vậy \(I \in B D\).
• Do \(I\) nằm trên \(B D\), và là trung điểm đoạn \(H K\), nên \(I\) cách đều \(B\) và \(D\), tức \(I B = I D\).

1. Chứng minh \(\triangle O A M = \triangle O C N\):

• \(O\) là trung điểm \(A C\) nên \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A}\).
• Vì \(O , M , N\) thẳng hàng nên \(\overset{\rightarrow}{O M}\) và \(\overset{\rightarrow}{O N}\) tỉ lệ.
• Diện tích tam giác \(\triangle O A M = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O A} \times \overset{\rightarrow}{O M} \mid\),
  \(\triangle O C N = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O C} \times \overset{\rightarrow}{O N} \mid = \frac{1}{2} \mid \overset{\rightarrow}{O A} \times \overset{\rightarrow}{O N} \mid\).
• Tỉ lệ vectơ và hướng ngược nhau nên diện tích bằng nhau.

2. Suy ra \(M B N D\) là hình bình hành:

• \(O\) trung điểm \(B D\), nên \(\overset{\rightarrow}{O} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{D}}{2}\).
• Vì \(M , N , O\) thẳng hàng và \(\triangle O A M = \triangle O C N\), ta có \(\overset{\rightarrow}{M B} = \overset{\rightarrow}{D N}\).
• Vậy \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối bằng và song song → hình bình hành.