Xét tam giác \(A B C\) có \(BC\bot AB^{^{\prime}}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}}=\frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h}=\frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x=\frac{ah}{a^{^{\prime}}-a}\)

Xét tam giác ADB có MN // AB nên theo định lí Thalès, ta có: ​
 \(\frac{D N}{D B}=\frac{M N}{A B}\) (1)
\(\)Xét tam giác ACB có PQ // AB nên theo định lí Thalès, ta có:
 \(\frac{C Q}{C B}=\frac{P Q}{A B}\) (2)
Do NQ \(\)// \(\)AB (gt); AB // CD (gt)

Suy ra NQ // CD\(\)

Xét tam giác BDC \(\), ta có: \(N Q\) // \(C D\) (cmt) nên theo định lí Thalès, ta có:
 \(\frac{D N}{D B}=\frac{C Q}{C B}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{MN}{AB}=\frac{PQ}{AB}\)
Vậy MN=PQ

Lấy \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\)
Suy ra \(A D\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\)

Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên điểm \(G\) nằm trên cạnh \(A D\)

Ta có \(\frac{A G}{A D} = \frac{2}{3}\) hay \(A G = \frac{2}{3} A D\)

Do \(M G\) // \(A B\) nên theo định lí Thalès, ta có: \(\frac{A G}{A D} = \frac{B M}{B D} = \frac{2}{3}\)

Ta lại có \(B D = C D\) (vì \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\)) nên \(\frac{B M}{B C} = \frac{B M}{2 B D} = \frac{2}{2.3} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(B M = \frac{1}{3} B C\)

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:

\(D E\) // \(A C\) nên \(\frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}\);

\(D F\) // \(A C\) nên \(\frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C}\).

Do đó, \(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} + \frac{B D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\).

Áp dụng định lí Thalès, ta có: \(\frac{OA}{OC}\)=\(\frac{OB}{OD}\)
Suy ra OA.OD=OB.OC