a. Ta có : DE vuông góc AE và DF vuông góc AC .

 Do đó , AE và AF đều vuông góc với DE và DF .

 Vì AB = AC và AE = AF ( các cạnh của hình vuông )

 => AEDF là hình vuông .

b. Từ đường thẳng EF Vuông góc với AB và AC .

 Mặt khác : Điểm M của BC có thể suy luận rằng EF //BC

c. Góc  AND = 180 - ( góc  ADE +gócEDF )

 Ta có : góc  AED và góc  DEF đều = 90 

 Góc  AND = 180 - 90 - 90 = 0

=> AND = 90

a) Ta có: MD⊥AB(giả thiết)

       và    AC⊥AB( ΔABC vuông tại A)

⇒MD//AC (1)

 Có: DA⊥AC( ΔABC vuông tại A)

  và  ME⊥AC (giả thiết)

⇒ DA//ME (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ADME là hình bình hành (Có các cạnh đối // )

Hình bình hành ADME có ∠A=90°

⇒ADME là hình chữ nhật ( Hình bình hành có một góc vuông) (Điều phải chứng minh)

b) Ta có đường thẳng MD đi qua trung điểm M của BC (giả thiết) và // với AC ( Từ ADME là hình chữ nhật) 

⇒ MD đi qua trung điểm D của AB

⇒ D là trung điểm của AB (3)

Từ (3) và ID=MD (I đối xứng với M qua D)

⇒ Hai đường chéo AB và IM cắt nhau tại tại trung điểm D của mỗi đường

⇒AMBI là  hình bình hành (4)

Trong Δ vuông ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC

⇒ AM=1/2 BC

mà BM=CM (  AM là đường trung tuyến)

⇒AM=BM (5)

Từ (4) và (5) suy ra:

AMBI là hình thoi ( Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

c) Hình thoi AMBI là hình vuông 

⇔ ∠AMB =90°

⇔ AM⊥BC hay AM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của Δ ABC

⇔ Δ ABC cân tại A

Vậy ΔABC là Δ vuông cân tại A thì tứ giác AMBI là hình vuông

d) Xét tứ giác APHQ có:

∠HPA = 90° (HP⊥AB) ; ∠PAQ=90°(Δ ABC cân tại A); ∠HQA=90° (HQ⊥AC)

⇒ APHQ là hình chữ nhật ( Tứ giác có 3 góc vuông) (6)

Xét ΔPHQ và ΔEAP có:

PH=AQ ( APHQ là hình chữ nhật)

∠PHQ = ∠QAE (APHQ là hình chữ nhật)

HQ=PA (APHQ là hình chữ nhật)

⇒ΔPHQ = ΔEAP (c.g.c)

⇒AP=PH (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (6) và (7) suy ra:

APHQ là hình vuông 

⇒PQ⊥AM (Điều phải chứng minh)

a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.

Do đó AD//BC.

Ta có AP⊥BC;AD//BC suy ra AP⊥AD hay ˆPAQ=90°

Vì AP⊥BC,CQ⊥AD nênˆAPC=90°;ˆAQC=90°

Tứ giác APCQ có ˆPAQ=90°; ˆAPC=90°;ˆAQC=90° nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ.

b) Theo câu a, ABCD là hình bình hành, nên để ABCD là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện AB⊥BC,AB=BC hay ΔABC  vuông cân tạiB

Vậy để tứ giác ABCD là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại B.

a) Ta có: BM = MC vì M là trung điểm BC

AN = ND vì N là trung điểm AD

Nên MN là đường trung bình ABCD

Suy ra: MN // AB // CD

Lại có: BC = AD, nên BM = AN

Xét ABMN có: BM // AN và BM = AN nên ABMN là hình bình hành

Suy ra: MN = AB

Mà AB = CD nên MN = CD

Lại có: AD = BC = 2AB nên ND = MC = AB = CD = MN

Vậy MNDC là hình thoi

b) Xét tứ giác BMDA có: BM // AD nên BMAD là hình thang

Vì MNDC là hình thoi nên MC = CD

Nên tam giác MCD cân tại C

Mà: ˆMCD=ˆBAD=60°

Nên tam giác MCD đều

Suy ra: MC = CD = MD

Mà CD = AB nên MD = Ba

Vậy BMDA là hình thang cân.

a.Vì ABCD là hình vuông

→AC⊥BD=O là trung điểm mỗi đường,OA=OB=OC=OD 

Xét ΔAOP,ΔBORΔ có:

ˆOAP=45o=ˆOBR 

OA=OB 

ˆAOP=90o−ˆBOP=90

→ΔOAP=ΔOBR(g.c.g)

b.Từ a →OP=OR 

Tương tự chứng minh được OP=OS,OS=OQ 

→OR=OP=OS=OQ 

c.Từ b →O là trung điểm RS,PQ 

→RS⊥PQ=O l à trung điểm mỗi đường

→PRQS là hình vuông 

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD, ˆB=ˆD�^=�^; BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra ˆA1=ˆA4�1^=�4^ (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của ˆA�^ 

=> ˆA2=ˆA3�2^=�3^ (1)

Do đó AO là phân giác của ˆHAG���^

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.