Ta có \(B H \bot \&\text{nbsp}; A C\) nên \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\).

Mà \(\hat{B A H} = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A B H^{'}} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{A B D} \&\text{nbsp}; = \hat{A C D}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(A D\)) nên \(\hat{A C D} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (1)

\(C K \&\text{nbsp}; \bot \&\text{nbsp}; A B\) nên \(\Delta A C K\) vuông tại \(K\).

Mà \(\hat{C A K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A C K} \&\text{nbsp}; = 4 5^{\circ}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\hat{D C E} \&\text{nbsp}; = 9 0^{\circ}\) nên \(D E\) là đường kính.

Vậy \(D\), \(O\), \(E\) thẳng hàng.

Vẽ đường kính \(A D\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), suy ra \(\hat{A C D} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta H B A\) và \(\Delta C D A\) có:

\(\hat{A H B} = \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{H B A} = \hat{C D A}\) (góc nội tiếp cùng chắn AC⌢AC⌢);

Do đó \(\Delta H B A \sim \Delta C D A\)

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\) nên \(A B . A C = A D . A H\).

Mà \(A D = 2 R\).

Do đó \(A B . A C = 2 R . A H\).

• Kẻ đường kính ADcap A cap D𝐴𝐷.
• Ta có AHB̂=90∘modified cap A cap H cap B with hat above equals 90 raised to the composed with power𝐴𝐻𝐵=90∘(đường cao), ACD̂=90∘modified cap A cap C cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power𝐴𝐶𝐷=90∘(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Xét △AHBtriangle cap A cap H cap B△𝐴𝐻𝐵 và △ACDtriangle cap A cap C cap D△𝐴𝐶𝐷:
  • AHB̂=ACD̂=90∘modified cap A cap H cap B with hat above equals modified cap A cap C cap D with hat above equals 90 raised to the composed with power𝐴𝐻𝐵=𝐴𝐶𝐷=90∘
  • ABĤ=ADĈmodified cap A cap B cap H with hat above equals modified cap A cap D cap C with hat above𝐴𝐵𝐻=𝐴𝐷𝐶(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ACcap A cap C𝐴𝐶).
  • ⇒△AHB∼△ACDimplies triangle cap A cap H cap B tilde triangle cap A cap C cap D⇒△𝐴𝐻𝐵∼△𝐴𝐶𝐷 (g.g)
• Từ cặp tam giác đồng dạng, suy ra các góc tương ứng bằng nhau: BAĤ=CAD̂modified cap B cap A cap H with hat above equals modified cap C cap A cap D with hat above𝐵𝐴𝐻=𝐶𝐴𝐷(hay OAĈmodified cap O cap A cap C with hat above𝑂𝐴𝐶).