Gán khối lượng tại \(A , C\) sao cho \(A M : M C = \frac{1}{2}\) tương ứng với tỉ lệ nghịch của khối lượng: đặt mass \(m_{A} = 2 , \textrm{ }\textrm{ } m_{C} = 1\). Vì \(A D\) là trung tuyến nên \(D\) là trung điểm \(B C\), nên \(m_{B} = m_{C} = 1\).

• Khối lượng tại \(D\) là \(m_{D} = m_{B} + m_{C} = 1 + 1 = 2\). Trên đoạn \(A D\) hai đầu có khối lượng \(m_{A} = 2\) và \(m_{D} = 2\) nên điểm cân đối là trung điểm. Vậy \(O\) (giao của \(B M\) và \(A D\)) là trung điểm \(A D\). (a) xong.
• Khối lượng tại \(M\) bằng \(m_{M} = m_{A} + m_{C} = 2 + 1 = 3\). Trên đoạn \(B M\) hai đầu có khối lượng \(m_{B} = 1\) và \(m_{M} = 3\), nên tỉ lệ chia là
  \(\frac{B O}{O M} = \frac{m_{M}}{m_{B}} = \frac{3}{1} .\)
  Vậy \(B O : O M = 3 : 1\) nên \(O M = \frac{1}{4} B M\). (b) xong.

Kết luận: (a) \(O\) là trung điểm của \(A D\). (b) \(O M = \frac{1}{4} B M\)

Chọn hệ trục sao cho \(B \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\). Khi đó \(M\) là trung điểm \(B C\) có toạ độ \(M \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\). Gọi \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\) với \(a \neq 0\).
Khi đó trung điểm của \(A M\) là

\(I \left(\right. 0 , \frac{a}{2} \left.\right) .\)

Phương trình đoạn \(B I\): từ \(B \left(\right. - 1 , 0 \left.\right)\) đến \(I \left(\right. 0 , \frac{a}{2} \left.\right)\). Dạng tham số:

\(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) + t \left(\right. 1 , \frac{a}{2} \left.\right) = \left(\right. - 1 + t , \textrm{ }\textrm{ } t \frac{a}{2} \left.\right) .\)

Phương trình đoạn \(A C\): từ \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\) đến \(C \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\). Dạng tham số:

\(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 0 , a \left.\right) + s \left(\right. 1 , - a \left.\right) = \left(\right. s , \textrm{ }\textrm{ } a \left(\right. 1 - s \left.\right) \left.\right) , 0 \leq s \leq 1.\)

Giao \(D\) của \(B I\) và \(A C\) thỏa:

\(- 1 + t = s , t \frac{a}{2} = a \left(\right. 1 - s \left.\right) .\)

Từ phương trình thứ hai (chia cho \(a\)) ta có \(\frac{t}{2} = 1 - s\). Thay \(s = - 1 + t\) vào:

\(\frac{t}{2} = 1 - \left(\right. t - 1 \left.\right) = 2 - t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t / 2 = 2 - t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 t = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{4}{3} .\)

Do đó \(s = t - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\). Vị trí trên đoạn \(A C\) là \(s = \frac{1}{3}\), tức

\(\frac{A D}{A C} = s = \frac{1}{3} , \frac{D C}{A C} = 1 - s = \frac{2}{3} .\)

Vì vậy

\(\frac{A D}{D C} = \frac{1 / 3}{2 / 3} = \frac{1}{2} \Rightarrow A D = \frac{1}{2} \textrm{ } D C .\)