a) Gọi \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) là đường tròn đường kính \(O A\).

Vì \(O O^{'} = O A - O^{'} A\) nên hai đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc trong.

b) Các tam giác cân \(A O^{'} C\) và \(A O D\) có chung góc ở đỉnh \(A\) nên \(\hat{A C O^{'}} = \hat{D}\), suy ra \(O^{'} C\) // \(O D\).

Tam giác \(A O D\) có \(A O^{'} = O^{'} O\) và \(O^{'} C\) // \(O D\) nên \(A C = C D\).

Trường hợp 1: \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc trong.

Xét \(\Delta O A C\), ta có:

\(\frac{O^{'} B}{O C} = \frac{r}{R} = \frac{O^{'} A}{O A}\) suy ra \(O^{'} B\) // \(O C\).

Suy ra các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) song song với nhau vì chúng lần lượt vuông góc với \(O^{'} B\) và \(O C\).

Trường hợp 2: \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc ngoài.

Ta thấy \(\Delta O^{'} A B \sim \Delta O A C\) (g.g)

Suy ra \(\frac{O^{'} B}{O C} = \frac{r}{R} = \frac{O^{'} A}{O A}\)

Nên \(O^{'} B\) // \(O C\).

a) Ta có: \(O O^{'} = O I + O^{'} I\).

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại \(I\).

b) Xét \(\Delta A I J\) và \(\Delta A^{'} I J^{'}\) có:

\(\hat{A} = \hat{A^{'}} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{I_{1}} = \hat{I_{2}}\) suy ra \(\Delta A I I \sim \Delta A^{'} I J^{'}\).

c) \(\Delta A I J \&\text{nbsp}; \sim \Delta A^{'} I J^{'}\) (g.g) 

Suy ra \(\frac{I A}{I A^{'}} = \frac{I J}{J I^{'}} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) (1) 

\(\Delta O I B \sim \Delta O^{'} I B^{'}\)  (g.g) suy ra \(O B\)// \(O^{'} B^{'}\)

Suy ra \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{1}^{'}}\) suy ra \(\frac{I B}{I B^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{5}{2}\) (2)

 Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{I A}{I A^{'}} = \frac{I B}{I B^{'}} = \frac{5}{2}\); \(\hat{A I B} = \hat{A^{'} I B}\)

Nên \(\Delta I A B \sim \Delta I A^{'} B^{'}\) (c.g.c).

d) \(\Delta I A B \sim \Delta I A^{'} B^{'}\) (c.g.c)

Suy ra \(\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{I A}{I A^{'}} = \frac{5}{2}\);

\(\frac{O A}{O^{'} A^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{5}{2}\)

Suy ra \(\frac{O A}{O^{'} A^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}}\) suy ra \(\Delta A O B \sim \Delta A^{'} O^{'} B^{'}\) (c.c.c).

e) \(\Delta A O B \sim \Delta A^{'} O^{'} B^{'}\) suy ra \(\hat{O B A} = \hat{O^{'} B^{'} A^{'}} ; \hat{O B I} = \hat{O^{'} B^{'} I^{'}}\)

Suy ra \(\hat{A B I} = \hat{A B^{'} I^{'}}\) nên \(A B\) // \(A^{'} B^{'}\).

Tứ giác \(A B A^{'} B^{'}\) có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

a) Ta có: \(\hat{A_{1}} = \left(\right. 18 0^{\circ} - \hat{O_{1}} \left.\right) : 2\)

\(\hat{A_{2}} = \left(\right. 18 0^{\circ} - \hat{O_{2}} \left.\right) : 2\)

Suy ra \(\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{D A E} = 9 0^{\circ}\).

b) Có tứ giác \(A D M E\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D E\) và \(A M\)suy ra \(I D = I A\)

\(\Delta I A O = \Delta I D O\) (ccc) suy ra \(\hat{I A O} = \hat{I D O} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(M A ⊥ O A\) với \(A \in \left(\right. O \left.\right)\)

Chứng minh tương tự: \(M A ⊥ O^{'} A\) với \(A \in \left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Vậy \(M A\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.