- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Gọi \(C\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) có tung độ bằng \(16\).

Ta có: \(y_{C} = 16\) hay \(\left(\right. x_{C} \left.\right)^{2} = 16\) suy ra \(x_{C} = \pm 4\).

Vậy \(C \left(\right. 4 ; 16 \left.\right)\)  hoặc \(C \left(\right. - 4 ; 16 \left.\right)\).

c) Gọi \(D\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) cách đều hai trục tọa độ. 

Ta có: \(d \left(\right. D , O x \left.\right) = \mid y_{D} \mid = x_{D}^{2} ;\)

\(d \left(\right. D , O y \left.\right) = \mid x_{D} \&\text{nbsp}; \mid\).

Theo giả thiết ta có: \(x_{D}^{2} = \mid x_{D} \mid\) suy ra \(\mid x_{D} \mid = 0\) (loại) hoặc \(\mid x_{D} \mid = 1\).

Vậy \(D \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\) hoặc \(D \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\).

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; 8 \left.\right) , B \left(\right. - 2 ; 2 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 2 ; 2 \left.\right) , D \left(\right. 4 ; 8 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 5\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - 5 \left.\right)^{2} = \frac{25}{2} \neq - \frac{25}{2}\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 5 ; - \frac{25}{2} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{3}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - \frac{3}{2} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{3}{2} ; \frac{9}{8} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{8} \neq 2\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{1}{2} ; 2 \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; - 4 \left.\right) ,\) \(B \left(\right. - 2 ; - 1 \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) ,\) \(C \left(\right. 2 ; - 1 \left.\right) ,\) \(D \left(\right. 4 ; - 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 8\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - 8 \left.\right)^{2} = - 16\),

Do đó điểm \(E \left(\right. - 8 ; - 16 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{1}{3}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)^{2} = - \frac{1}{36}\),

Do đó điểm \(F \left(\right. - \frac{1}{3} ; - \frac{1}{36} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{2}{5}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. \frac{2}{5} \left.\right)^{2} = - \frac{4}{100} \neq \frac{4}{100}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{2}{5} ; \frac{4}{100} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vẽ các điểm \(A\left(\right.-2;8\left.\right)\), \(B\left(\right.-1;2\left.\right)\), \(O\left(\right.0;0\left.\right)\), \(C\left(\right.1;2\left.\right)\), \(D\left(\right.2;8\left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b)

+ Thay \(x = - 4\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} = 32\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 4 ; 32 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{2}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = \frac{3}{4}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. \frac{3}{4} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8} \neq \frac{9}{16}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{3}{4} ; \frac{9}{16} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Trong đoạn trích, tác giả Nguyễn Dữ đã gửi gắm những thông điệp về giá trị của tình yêu, sự lựa chọn và trách nhiệm trong cuộc sống. Qua cuộc gặp gỡ và tình yêu giữa Từ Thức và nàng tiên, câu chuyện thể hiện rằng tình yêu chân thành có thể vượt qua những rào cản về thế giới và địa vị. Tuy nhiên, khi phải đối mặt với thực tế và lựa chọn giữa tình yêu và trách nhiệm, Từ Thức đã phải suy nghĩ cẩn trọng. Cuối cùng, anh chọn lại cuộc sống lao động bình dị, thể hiện rằng cuộc sống đầy gian khổ nhưng đầy ý nghĩa. Tác giả qua đó khuyên nhủ độc giả cần cẩn trọng với những giá trị thực tiễn và các mối quan hệ gần gũi, bởi chính chúng mới là nền tảng vững chắc cho hạnh phúc thực sự.

- Lựa chọn của Từ Thức ở cuối đoạn trích: Chọn vào núi, xa rời cuộc sống trần gian.

- Lí giải: Từ Thức trở nên lạc lõng bơ vơ khi chàng không còn thuộc về chốn thần tiên cũng không còn hợp với cõi nhân gian. Chính vì vậy ra đi là cách tốt nhất cho chàng.