gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD = 1/2 bd

AC = 1/2BD.

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O;12AC)

Ta có: ΔABC đều   

N,P là trung điểm AC,AB

→BN⊥AC,CP⊥AB

→ΔBNC,ΔBPC vuông tại N,P

Mà Mlà trung điểm BC

→MP=MB=MC=1/2BC,MN=MB=MC=12BC

→MP=MN=MB=MC=1/2BC

→B,P,N,C thuoocjđường tròn tâm M bán kính 1/2BC=1/2a

Ta có: góc AEM=90 độ

nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1)

Ta có: góc AHM=90 độ

nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2)

Ta có: góc ADM=90 độ

nên D nằm trên đường tròn đường kính AM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo).

Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E.

Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được AC2=AB2+BC2=32+32=18.

Suy ra AC=√18=3√2(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (E) là R=AC/2=3√2/2

(cm).

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có AC⊥BD

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=1/2AB;ON=1/2BC;OP=1/2CD;OQ=1/2AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA

nên OM=ON=OP=OQ

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.

Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó B′O=1/2BC.

Mà O là trung điểm của BC nên OB=OC=1/2BC.

Do đó B′O=OB=OC=1/2BC.

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có C′O=OB=OC=1/2BC.

Suy ra B′O=C′O=OB=OC=1/2BC.

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

\(O\)