ai hỏi

câm

a) Tìm \(a , b\)

Hàm số:

\(y = x^{3} + a x^{2} + b x + 1\)

Đi qua \(A \left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\)

Thay \(x = 1 , y = 2\):

\(1 + a + b + 1 = 2\) \(a + b + 2 = 2\) \(a + b = 0\)

Đi qua \(B \left(\right. - 2 ; - 1 \left.\right)\)

Thay \(x = - 2 , y = - 1\):

\(\left(\right. - 2 \left.\right)^{3} + a \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} + b \left(\right. - 2 \left.\right) + 1 = - 1\) \(- 8 + 4 a - 2 b + 1 = - 1\) \(4 a - 2 b - 7 = - 1\) \(4 a - 2 b = 6\) \(2 a - b = 3\)

Giải hệ

\(\left{\right. a + b = 0 \\ 2 a - b = 3\)

Từ \(b = - a\)

Thay vào:

\(2 a - \left(\right. - a \left.\right) = 3\) \(3 a = 3\) \(a = 1\) \(b = - 1\)

✅ Kết quả:

\(a = 1 , b = - 1\)

Hàm số:

\(y = x^{3} + x^{2} - x + 1\)

b) Khảo sát sự biến thiên

1. Tập xác định

\(D = \mathbb{R}\)

2. Đạo hàm

\(y^{'} = 3 x^{2} + 2 x - 1\)

Giải:

\(3 x^{2} + 2 x - 1 = 0\) \(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}\) \(x = \frac{- 2 \pm 4}{6}\) \(x_{1} = - 1 , x_{2} = \frac{1}{3}\)

3. Bảng dấu

4. Giá trị cực trị

Tại \(x = - 1\)

\(y \left(\right. - 1 \left.\right) = - 1 + 1 + 1 + 1 = 2\)

→ Cực đại \(\left(\right. - 1 , 2 \left.\right)\)

Tại \(x = \frac{1}{3}\)

\(y = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1\) \(= \frac{1 + 3 - 9 + 27}{27}\) \(= \frac{22}{27}\)

→ Cực tiểu

\(\left(\right. \frac{1}{3} , \frac{22}{27} \left.\right)\)

5. Bảng biến thiên

\(x & - \infty & - 1 & \frac{1}{3} & + \infty \\ y^{'} & + & 0 & - & 0 & + \\ y & - \infty & 2 & \frac{22}{27} & + \infty\)

c) Thể tích khối tròn xoay

Quay miền giới hạn bởi

• \(y = 0\)
• \(x = 0\)
• \(x = 1\)
• \(y = x^{3} + x^{2} - x + 1\)

quanh trục hoành

Công thức:

\(V = \pi \int_{a}^{b} y^{2} d x\) \(V = \pi \int_{0}^{1} \left(\right. x^{3} + x^{2} - x + 1 \left.\right)^{2} d x\)

Bình phương

\(\left(\right. x^{3} + x^{2} - x + 1 \left.\right)^{2}\) \(= x^{6} + 2 x^{5} - x^{4} + 0 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 1\)

Tính tích phân

\(V = \pi \int_{0}^{1} \left(\right. x^{6} + 2 x^{5} - x^{4} + 3 x^{2} - 2 x + 1 \left.\right) d x\) \(= \pi \left(\left[\right. \frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{6}}{3} - \frac{x^{5}}{5} + x^{3} - x^{2} + x \left]\right.\right)_{0}^{1}\)

Thay \(1\):

\(= \pi \left(\right. \frac{1}{7} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + 1 \left.\right)\)

Quy đồng mẫu \(105\):

\(\frac{15 + 35 - 21 + 105}{105}\) \(= \frac{134}{105}\)

Kết quả

a)

\(a = 1 , b = - 1\)

b)
Hàm số khảo sát:

\(y = x^{3} + x^{2} - x + 1\)

• Cực đại: \(\left(\right. - 1 , 2 \left.\right)\)
• Cực tiểu: \(\left(\right. \frac{1}{3} , \frac{22}{27} \left.\right)\)

c)

\(V = \frac{134 \pi}{105}\)