sao có việc gì

• Vì \(10 P + 1\) là số nguyên tố lớn hơn 2, nên nó phải là số lẻ.
• \(10 P\) luôn là số chẵn (vì 10 chẵn, \(P\) nguyên).
• Do đó, \(10 P + 1\) là số lẻ.
• Điều này đúng với mọi \(P\), không có điều kiện thêm.

Bước 2: Xét tính chia hết cho 3

• Vì \(10 P + 1\) là số nguyên tố, nó không chia hết cho 3 (trừ trường hợp đặc biệt là 3, nhưng \(10 P + 1 > 3\) vì \(P > 3\)).
• Xét \(10 P + 1\) theo modulo 3:

• Ta có \(10 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), nên:

• Vì \(10 P + 1\) không chia hết cho 3, nên:

• Vậy \(P \equiv 0\) hoặc \(1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).

Bước 3: Loại trường hợp \(P \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Nếu \(P \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), tức là \(P = 3 k\).
• Khi đó:

• \(30 k + 1 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), không chia hết 3, hợp lệ.
• Nhưng \(P = 3 k\) với \(k \geq 2\) (vì \(P > 3\)) thì \(P\) chia hết 3, tức \(P\) không phải số nguyên tố (nếu \(P\) nguyên tố thì không chia hết 3).
• Tuy nhiên đề bài không yêu cầu \(P\) là số nguyên tố, chỉ yêu cầu \(10 P + 1\) là số nguyên tố.
• Vậy trường hợp này vẫn có thể xảy ra.

Bước 4: Xét \(5 P + 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\)

• Ta cần chứng minh \(6 \mid \left(\right. 5 P + 1 \left.\right)\), tức:

• Tương đương:

• Vì \(5 \equiv - 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), ta có:

• Vì 5 và 6 là nguyên tố cùng nhau (gcd(5,6) = 1), nên:

Bước 5: Kiểm tra điều kiện \(P \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\) có phù hợp với \(10 P + 1\) là số nguyên tố

• Nếu \(P \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì \(P = 6 k + 1\).
• Khi đó:

• \(60 k + 11 \equiv 11 \equiv 5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), không chia hết 2 hay 3, có thể là số nguyên tố.
• Nếu \(P \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì \(5 P + 1 \equiv 5 \cdot 1 + 1 = 6 \equiv 0 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), đúng như yêu cầu.

Bước 6: Loại trường hợp \(P \equiv 3\) hoặc \(5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\)

• Nếu \(P \equiv 3 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì \(P\) chia hết 3, không phù hợp vì \(10 P + 1\) sẽ không nguyên tố (kiểm tra cụ thể).
• Nếu \(P \equiv 5 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\), thì:

• \(51\) chia hết 3, nên \(10 P + 1\) không thể là số nguyên tố.

Kết luận:

• Để \(10 P + 1\) là số nguyên tố, \(P\) phải thỏa mãn \(P \equiv 1 \left(\right. m o d 6 \left.\right)\).
• Khi đó:

• Vậy \(5 P + 1\) chia hết cho 6.

Đáp án cuối cùng:

Hay nói cách khác, \(5 P + 1\) chia hết cho 6.