a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Do AD // BC nên ˆADB=ˆCBD (so le trong) Xét DADH và DCBK có:ˆAHD=ˆCKB=90°; AD = BC (chứng minh trên);

ˆADH=ˆCBK  (do ˆADB=ˆCBD). Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK. Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b, Do AHCK là hình bình hành (cmt)

I là trung điểm HK (gt)

⇒ I là trung điểm AC Do ABCD là hình bình hành (gt) I là trung điểm AC (cmt) ⇒ I là trung điểm BD ⇒ IB = ID

a, ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b, Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a, ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b, Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét ∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(giả thiết) nên G là trọng tâm của ∆ABC.Suy ra GM=GB/2;GN=GC/2(tính chất trọng tâm của ∆) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP=PB=GB/2(2)

Q là trung điểm của GC(gải thiết) nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ (1), (2) và(3) suy ra GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có:

GM=GP(CMT)

GN=GQ(CMT)

Do đó tứ giác PQMN có 2 Đuờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFDlà hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFClà hình bình hành. Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB=OD

AB//CD nên AM//CN

Suy ra ^OAM=^OCN(so le trong)

Xét ∆OAM và ∆OCN có

^OAM=^OCN( chứng minh trên)

OA=ỐC( chứng minh trên)

^AOM=^CON( 2 góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM=∆OCN( góc. Cạnh. Góc)

Suy ra AM=CN(2 cạnh tương ứng)

AB=CD(Chứng minh trên) ;AB=AN+BM;CD=CM+DN

Suy ra BM=DN

Xét tứ giác MANG có

BM//DN(vì AB//CD)

BM=DN( chứng minh trên)

Do đó MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB=OD

AB//CD nên AM//CN

Suy ra ^OAM=^OCN(so le trong)

Xét ∆OAM và ∆OCN có

^OAM=^OCN( chứng minh trên)

OA=ỐC( chứng minh trên)

^AOM=^CON( 2 góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM=∆OCN( góc. Cạnh. Góc)

Suy ra AM=CN(2 cạnh tương ứng)

AB=CD(Chứng minh trên) ;AB=AN+BM;CD=CM+DN

Suy ra BM=DN

Xét tứ giác MANG có

BM//DN(vì AB//CD)

BM=DN( chứng minh trên)

Do đó MBND là hình bình hành

a, vì ABCD là hình bình hành nên AB=CDCD, AB//CD mà E, F lần luợt là trung điểm của AB, CD nên AE=BF=1/2AB,CE=DF=1/2CD

Do đó AE= BE=CF=DF

Xét tứ giác AEC

AE//DF(vì AB//CD)

AE=DF(chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy AEFD và AECF là hình bình hành

b, vì AECF là hình bình hành nên AF=EC

Vậy EF= AD, AF=EC