a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC, AD=BC

Ta có:

+) E là trung điểm AD => EA=ED

+) F là trung điểm BC => FB=FC

Suy ra EA=ED=FB=FC

Xét tứ giác EBFD có:

+) ED=FB (chứng minh trên)

+) ED//FB (Vì AD//BC)

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Ta có:

+) ABCD là hình bình hành (giả thiết)

nên O là giao điểm của 2 đường chéo => O là trung điểm BD

+) EBFD là hình bình hành (chứng minh trên)

nên 2 đường chéo EF, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => O là trung điểm EF

Vậy E, O, F thẳng hàng

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC, AD=BC

Ta có:

+) E là trung điểm AD => EA=ED

+) F là trung điểm BC => FB=FC

Suy ra EA=ED=FB=FC

Xét tứ giác EBFD có:

+) ED=FB (chứng minh trên)

+) ED//FB (Vì AD//BC)

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Ta có:

+) ABCD là hình bình hành (giả thiết)

nên O là giao điểm của 2 đường chéo => O là trung điểm BD

+) EBFD là hình bình hành (chứng minh trên)

nên 2 đường chéo EF, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => O là trung điểm EF

Vậy E, O, F thẳng hàng

Ta có: 2 đường trung tuyến BM và CN đồng quy tại G

Suy ra \(GM=\frac13BM;BG=\frac23BM\) ; \(GN=\frac13CN;CG=\frac23CN\)

mà P là trung điểm của GB nên PG=PB=\(\frac12BG=\frac12.\frac23BM=\frac13BM\) => PG=GM => G là trung điểm của PM

Q là trung điểm GC nên QG=QC=\(\frac12CG=\frac12.\frac23CN=\frac13CN\) => QG=GN => G là trung điểm QN

Do đó 2 đường chéo QN, PM của hình bình hành PQMN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Vậy PQMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AB=CD

Ta có:

+) B là trung điểm AE

+) C là trung điểm DF

Suy ra AE=DF, AE//DF; AB=EB=CD=CF.

Xét tứ giác AEFD có:

+) AE=DF (chứng minh trên)

+) AE//DF (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Xét tứ giác ABFC có:

+) AB=CF (chứng minh trên)

+) AB//CF (Vì AE//DF)

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi giao điểm của AF và DE là O

Vì AEFD là hình bình hành nên AF và DE (2 đường chéo) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> O là trung điểm của AF và DE

Vì ABFC là hình bình hành nên AF và BC (2 đường chéo) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> O là trung điểm của AF và BC

Do đó O là trung điểm của AF, DE, BC

Vậy trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

OA=OC, OB=OD mà AC=BD nên OA=OC=OB=OD

AB//CD => góc OAM = góc OCN (so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)

OA=OC (chứng minh trên)

góc AOM = góc CON (đối đỉnh)

Vậy tam giác OAM = tam giác OCN (góc - cạnh - góc)

Do đó MA = NC (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

+) AB=CD (ABCD là hình bình hành)

+) AB = MA + MB

+) CD = ND + NC

Suy ra MB = ND

Xét tứ giác MBND có:

+) MB = ND (chứng minh trên)

+) MB//ND (Vì AB//CD)

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AB=CD

Ta có: E là trung điểm AB => EA=EB

F là trung điểm CD => FD=FC

Do đó EA=EB=FD=FC

+) Xét tứ giác AEFD có:

AE//DF (Vì AB//CD)

EA=FD (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+) Xét tứ giác AEFC có:

AE//FC (Vì AB//CD)

EA=FC (chứng minh trên)

Vậy tứ giác AEFC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Vì AEFD là hình bình hành nên EF=AD (tính chất)

Vì AEFC là hình bình hành nên AF=EC (tính chất)