Gọi M,N,P lần lượt là giao của BF với CD, BE với CDvà FE với AB

Theo Thales ta có các tỉ số sau:

DM/AB=DF/FA;DH/AP=FD/FA

=>DM/AB=DH/AP=>DM=AB.DH/AP(1)

Tương tự, vì AB//HC nên: NC/AB=CH/AP (cùng bằng EC/EA)

=>NC=CH.AB/AP(2)

Mà DH=CH nên từ (1)và(2)=>DM=NC=>ΔBDM=ΔBCN(cgc)

=>ˆDBF=ˆEBC(các góc tương ứng)

Gọi M,N,P lần lượt là giao của BF với CD, BE với CDvà FE với AB

Theo Thales ta có các tỉ số sau:

DM/AB=DF/FA;DH/AP=FD/FA

=>DM/AB=DH/AP=>DM=AB.DH/AP(1)

Tương tự, vì AB//HC nên: NC/AB=CH/AP (cùng bằng EC/EA)

=>NC=CH.AB/AP(2)

Mà DH=CH nên từ (1)và(2)=>DM=NC=>ΔBDM=ΔBCN(cgc)

=>ˆDBF=ˆEBC(các góc tương ứng)

a) Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B / / C D ; A D / / B C\)

\(\Rightarrow A B / / D G ; A B / / C G ; B K / / A D ; K C / / A D\)

Xét tam giác \(D E G\) có \(A B / / D G\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

Xét tam giác \(A D E\) có \(B K / / A D\), theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{E K}{A E} = \frac{E B}{E D}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{A E} \Rightarrow A E^{2} = E G . E K\) 

b) Xét tam giác \(A E D\) có:

\(A D / / B K \Rightarrow \frac{A E}{A K} = \frac{D E}{D B}\)(3)

Xét tam giác \(A E B\) có

\(A B / / B K \Rightarrow \frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Từ (3) và (4) ta được:

\(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{D E}{B D} + \frac{B E}{B D} = \frac{B D}{B D} = 1\)

Ta có: \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\)
c)cho \(A B = a^{'} , A D = b\)

Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ABK,ta có:

\(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G} \Rightarrow \frac{a^{'}}{C G} = \frac{B K}{K C} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ADG,ta có:

\(\frac{C G}{D G} = \frac{C K}{A D} \Rightarrow \frac{C G}{D G} = \frac{C K}{b} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Nhân vế theo vế của (1);(2) ta có:

\(\frac{B K}{b} = \frac{a^{'}}{D G} \Rightarrow B K \cdot D G = a^{'} b\)