E và

F

F. Chứng minh rằng

D

B

F

^

=

E

B

C

^

DBF

=

EBC

.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

BK.DG=AB.AD không đổi

[Sửa]

Bài 4

Xem hướng dẫn Bình luận (71)

Cho tam giác

A

B

C

ABC nhọn, trên các đường cao

B

E

BE,

C

F

CF lấy các điểm theo thứ tự

I

I,

K

K sao cho

A

I

C

^

=

9

0

∘

,

A

K

B

^

=

9

0

∘

AIC

=90

∘

,

AKB

=90

∘

a) Chứng minh

A

I

=

A

K

AI=AK.

b) Cho

A

^

=

6

0

∘

,

S

A

B

C

=

120

A

=60

∘

,S

ABC

=120 cm

2

2

, Tính diện tích tam giác

A

E

F

AEF.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

E và

F

F. Chứng minh rằng

D

B

F

^

=

E

B

C

^

DBF

=

EBC

.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

BK.DG=AB.AD không đổi

[Sửa]

Bài 4

Xem hướng dẫn Bình luận (71)

Cho tam giác

A

B

C

ABC nhọn, trên các đường cao

B

E

BE,

C

F

CF lấy các điểm theo thứ tự

I

I,

K

K sao cho

A

I

C

^

=

9

0

∘

,

A

K

B

^

=

9

0

∘

AIC

=90

∘

,

AKB

=90

∘

a) Chứng minh

A

I

=

A

K

AI=AK.

b) Cho

A

^

=

6

0

∘

,

S

A

B

C

=

120

A

=60

∘

,S

ABC

=120 cm

2

2

, Tính diện tích tam giác

A

E

F

AEF.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

E và

F

F. Chứng minh rằng

D

B

F

^

=

E

B

C

^

DBF

=

EBC

.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

BK.DG=AB.AD không đổi

[Sửa]

Bài 4

Xem hướng dẫn Bình luận (71)

Cho tam giác

A

B

C

ABC nhọn, trên các đường cao

B

E

BE,

C

F

CF lấy các điểm theo thứ tự

I

I,

K

K sao cho

A

I

C

^

=

9

0

∘

,

A

K

B

^

=

9

0

∘

AIC

=90

∘

,

AKB

=90

∘

a) Chứng minh

A

I

=

A

K

AI=AK.

b) Cho

A

^

=

6

0

∘

,

S

A

B

C

=

120

A

=60

∘

,S

ABC

=120 cm

2

2

, Tính diện tích tam giác

A

E

F

AEF.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

E và

F

F. Chứng minh rằng

D

B

F

^

=

E

B

C

^

DBF

=

EBC

.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D

BK.DG=AB.AD không đổi

[Sửa]

Bài 4

Xem hướng dẫn Bình luận (71)

Cho tam giác

A

B

C

ABC nhọn, trên các đường cao

B

E

BE,

C

F

CF lấy các điểm theo thứ tự

I

I,

K

K sao cho

A

I

C

^

=

9

0

∘

,

A

K

B

^

=

9

0

∘

AIC

=90

∘

,

AKB

=90

∘

a) Chứng minh

A

I

=

A

K

AI=AK.

b) Cho

A

^

=

6

0

∘

,

S

A

B

C

=

120

A

=60

∘

,S

ABC

=120 cm

2

2

, Tính diện tích tam giác

A

E

F

AEF.

a)

Δ

A

B

E

ΔABE có

A

M

AM //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

E

B

E

D

EG

AE

=

ED

EB

(1)

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

K

BK suy ra

E

B

E

D

=

E

K

E

A

ED

EB

=

EA

EK

(2)

Từ (1) và (2) ta có

A

E

E

G

=

E

K

E

A

EG

AE

=

EA

EK

nên

A

E

2

=

E

K

.

E

G

AE

2

=EK.EG.

b) Từ

1

A

E

=

1

A

K

+

1

A

G

AE

1

=

AK

1

+

AG

1

suy ra

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=1

Δ

A

D

E

ΔADE có

A

D

AD //

B

C

BC suy ra

A

E

E

K

=

E

D

E

B

EK

AE

=

EB

ED

A

E

A

E

+

E

K

=

E

D

E

D

+

E

B

AE+EK

AE

=

ED+EB

ED

A

E

A

K

=

E

D

D

B

AK

AE

=

DB

ED

(3)

Tương tự

Δ

A

E

B

ΔAEB có

A

B

AB //

D

G

DG suy ra

A

E

E

G

=

B

E

E

D

EG

AE

=

ED

BE

A

E

A

E

+

E

G

=

B

E

B

E

+

E

D

AE+EG

AE

=

BE+ED

BE

A

E

A

G

=

B

E

B

D

AG

AE

=

BD

BE

(4)

Khi đó

A

E

A

K

+

A

E

A

G

=

E

D

B

D

+

B

E

B

D

=

1

AK

AE

+

AG

AE

=

BD

ED

+

BD

BE

=1.

c) Ta có

B

K

K

C

=

A

B

C

G

KC

BK

=

CG

AB

suy ra

B

K

=

K

C

.

A

B

C

G

BK=

CG

KC.AB

và

K

C

A

D

=

C

G

D

G

AD

KC

=

DG

CG

.

Suy ra

D

G

=

A

D

.

C

G

K

C

DG=

KC

AD.CG

Nhân theo vế ta được

B

K

.

D

G

=

A

B

.

A

D