Ta chứng minh P không là số lẻ hay a1-b1;a2-b2;...;a2003-b2003 không thể cùng lúc lẻ

Thật vậy, giả sử điều ngược lại thì (a1-b1)+(a2-b2)+...+(a2003-b2003) = (a1+a2+...+a2003) - (b1+b2+...+b2003) = 0 là tổng của 2003 số lẻ và là số lẻ

Mà 0 là số chẵn nên xảy ra mâu thuẫn, suy ra giả sử sai hay a1-b1;a2-b2;...;a2003-b2003 không thể cùng lúc lẻ và P không lẻ

Suy ra P chẵn do P là số nguyên

Vậy P chẵn (đpcm).

Cho x ∈ N thì x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Suy ra khi này x^3 - x chia hết cho 3 (1)

Từ (1), ta có:

S = a_1 + a_2 + ... + a_n

B = (a_1)^3 + (a_2)^3 + ... + (a_n)^3

=> B - S = ((a_1)^3 + ... + (a_n)^3) - (a_1 + a_2 + ... + a_n)

B - S = (a_1)^3 + ... + (a_n)^3 - a_1 - a_2 - ... - a_n

B - S = ((a_1)^3 - a_1) + ... + ((a_n)^3 - a_n)

Mà (a_1)^3 - a_1 chia hết cho 3

(a_2)^3 - a_2 chia hết cho 3 Nên B - S chia hết cho 3 (2)

. . .

(a_n)^3 - a_n chia hết cho 3

Theo (2), mà S chia hết cho 3 nên B chia hết cho 3

Vậy B chia hết cho 3. (đpcm)