Ta có \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1).
Và \(G\) là trọng tâm \(\Delta A E F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{0} \left(\right. 2 \left.\right)\).
Từ (1) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) :
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{B E}\).

a) \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M}\).
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B M} \Rightarrow\) tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(G A\) và \(G D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M} \Rightarrow\) tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Ta có B'C ⊥BC và BH ⊥BC ⇒B'C//AH (1)

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: B′A⊥AB và CH⊥AB​⇒B′A//CH (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

Ta có:
\(M\) trung điểm \(B C \rightarrow M C = \frac{1}{2} B C\).

\(N\) trung điểm \(A D \rightarrow A N = \frac{1}{2} A D\).

Mà \(A D = B C \Rightarrow A N = M C \Rightarrow\) Tứ giác \(A M C N\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A M} = \overset{\rightarrow}{N C}\).

Ta có:

AN//MB

AN=MB

MN//AB

⇒ABMN là hình bình hành

⇒I là trung điểm NB ⇒NI=1/2 NB (1)

DN//MC

DN=MC

MN//DC

⇒CDNM là hình bình hành

 ⇒K là trung điểm MD⇒DK=1/2DM(2). 

Dễ thấy \(B N D M\) là hình bình hành do BN//MD và BN=MD​ nên \(N D = B M \left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ (1), (2), (3)  \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{D K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Theo giả thiết, ta có: \(D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A , A B\).

\(\Rightarrow E F\) là đường trung bình \(\triangle A B C\) và \(E F = \frac{1}{2} B C\) (1).
Lại có \(D\) là trung điểm \(B C \Rightarrow C D = \frac{1}{2} C B \left(\right. 2 \left.\right)\).

Dễ thấy \(\overset{\rightarrow}{E F}\) cùng hướng \(\overset{\rightarrow}{C D} \left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{C D}\).

Ta có: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{D C} ; \overset{\rightarrow}{B A} = \overset{\rightarrow}{C D} ; \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C} ; \overset{\rightarrow}{D A} = \overset{\rightarrow}{C B} ; \overset{\rightarrow}{A O} = \overset{\rightarrow}{O C} ; \overset{\rightarrow}{O A} = \overset{\rightarrow}{C O} ; \overset{\rightarrow}{O B} = \overset{\rightarrow}{D O} ; \overset{\rightarrow}{B O} = \overset{\rightarrow}{O D}\).