Ta có \(G\) là trọng tâm \(\triangle A B C \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{0}\) (1).
Và \(G\) là trọng tâm \(\Delta A E F \Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{0} \left(\right. 2 \left.\right)\).
Từ (1) và \(\left(\right. 2 \left.\right)\) :
\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G A} + \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G B} + \overset{\rightarrow}{G C} = \overset{\rightarrow}{G E} + \overset{\rightarrow}{G F} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{G C} - \overset{\rightarrow}{G F} = \overset{\rightarrow}{G E} - \overset{\rightarrow}{G B} \Leftrightarrow \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{\rightarrow}{B E}\).

a) \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M}\).
Ta có \(A , N\) lần lượt là trung điểm của \(F C , F E\)

\(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{A N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{C E} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{B M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C}\) suy ra \(\overset{\rightarrow}{A N} = \overset{\rightarrow}{B M} \Rightarrow\) tứ giác \(A N M B\) là hình bình hành \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{N M} = \overset{\rightarrow}{A B}\).

b) \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).
Ta có \(I , K\) lần lượt là trung điểm của \(G A\) và \(G D \Rightarrow \overset{\rightarrow}{I K} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{N M} \Rightarrow\) tứ giác \(I N M K\) là hình bình hành nên \(\overset{\rightarrow}{M K} = \overset{\rightarrow}{N I}\).

Ta có \(B^{'}\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(O\) nên \(B B^{'}\) là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\).

Ta có: \(O C = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(C B B^{'}\) vuông tại \(C\).

Lại có: B′C⊥BC và AH⊥BC ​⇒ B′C//AH

Tương tự: \(O A = \frac{1}{2} B B^{'}\) nên tam giác \(A B B^{'}\) vuông tại \(A\).

Ta có: B′A⊥AB và CH⊥AB​⇒B′A//CH

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(A H C B^{'}\) là hình bình hành. Suy ra \(\overset{\rightarrow}{A H} = \overset{\rightarrow}{B^{'} C}\).

Chứng minh véc tơ AM = véc tơ NC

Ta có: AD = BC ( 2 cạnh đối hình bình hành ABCD)

Mà: N là trung điểm của AD và M là trung điểm BC

Nên: AN = ND = MC = BM = AD/2 = BC/2 (1)

Ta lại có: AD// BC ( 2 cạnh đối hình bình hành ABCD)

Do đo: AN//MC (N thuộc AD và M thuộc BC) (2)

Từ (1) và (2) => Tứ giác ANCM là hình bình hành

Do đó AM = NC

=> véc tơ AM = véc tơ NC

Chứng minh véc tơ DK = véc tơ NI

Ta có: ND = BM (chứng minh a) (3)

Lại có ND // BM (vì N thuộc AD, M thuộc BC và AD// BC) (4)

Từ (3) và (4) => Tứ giác NBCD là hình bình hành

=> NB = DM (5)

Ta có: NA = BM và NA// BM => ABMN là hình bình hành => I là trung điểm NB

=> NI = NB/2 (6)

Ta có ND = MC và ND//MC => NDCM là hình bình hành => K là trung điểm DM

=> DK = DM/2 (7)

TỪ (5) (6) (7) => DK = NI ( = NB/2 = DM/2 )

=> véc tơ DK = véc tơ NI

Theo giả thiết, ta có: \(D , E , F\) lần lượt là trung điểm của \(B C , C A , A B\).

\(\Rightarrow E F\) là đường trung bình \(\triangle A B C\) và \(E F = \frac{1}{2} B C\) (1).
Lại có \(D\) là trung điểm \(B C \Rightarrow C D = \frac{1}{2} C B \left(\right. 2 \left.\right)\).

Dễ thấy \(\overset{\rightarrow}{E F}\) cùng hướng \(\overset{\rightarrow}{C D} \left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \overset{\rightarrow}{E F} = \overset{\rightarrow}{C D}\).

AB=DC;BA=CD;AD=BC;DA=CB;AO=OC;OA=CO;OB=DO;BO=OD.