Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Gọi \(C\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) có tung độ bằng \(16\).

Ta có: \(y_{C} = 16\) hay \(\left(\right. x_{C} \left.\right)^{2} = 16\) suy ra \(x_{C} = \pm 4\).

Vậy \(C \left(\right. 4 ; 16 \left.\right)\)  hoặc \(C \left(\right. - 4 ; 16 \left.\right)\).

c) Gọi \(D\) là điểm thuộc \(\left(\right. P \left.\right)\) cách đều hai trục tọa độ. 

Ta có: \(d \left(\right. D , O x \left.\right) = \mid y_{D} \mid = x_{D}^{2} ;\)

\(d \left(\right. D , O y \left.\right) = \mid x_{D} \&\text{nbsp}; \mid\).

Theo giả thiết ta có: \(x_{D}^{2} = \mid x_{D} \mid\) suy ra \(\mid x_{D} \mid = 0\) (loại) hoặc \(\mid x_{D} \mid = 1\).

Vậy \(D \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\) hoặc \(D \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\).

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; 8 \left.\right) , B \left(\right. - 2 ; 2 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 2 ; 2 \left.\right) , D \left(\right. 4 ; 8 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 5\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - 5 \left.\right)^{2} = \frac{25}{2} \neq - \frac{25}{2}\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 5 ; - \frac{25}{2} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{3}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. - \frac{3}{2} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{3}{2} ; \frac{9}{8} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{2} x^{2}\) ta được: \(y = \frac{1}{2} . \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{8} \neq 2\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{1}{2} ; 2 \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 4 ; - 4 \left.\right) ,\) \(B \left(\right. - 2 ; - 1 \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) ,\) \(C \left(\right. 2 ; - 1 \left.\right) ,\) \(D \left(\right. 4 ; - 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\).

b)

- Thay \(x = - 8\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - 8 \left.\right)^{2} = - 16\),

Do đó điểm \(E \left(\right. - 8 ; - 16 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = - \frac{1}{3}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right)^{2} = - \frac{1}{36}\),

Do đó điểm \(F \left(\right. - \frac{1}{3} ; - \frac{1}{36} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

- Thay \(x = \frac{2}{5}\) vào đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{4} x^{2}\) ta được: \(y = - \frac{1}{4} \left(\right. \frac{2}{5} \left.\right)^{2} = - \frac{4}{100} \neq \frac{4}{100}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{2}{5} ; \frac{4}{100} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(B \left(\right. - 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(C \left(\right. 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(D \left(\right. 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b)

+ Thay \(x = - 4\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - 4 \left.\right)^{2} = 32\),

Do đó điểm \(M \left(\right. - 4 ; 32 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} = \frac{1}{2}\),

Do đó điểm \(N \left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+ Thay \(x = \frac{3}{4}\) vào đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\) ta được: \(y = 2. \left(\right. \frac{3}{4} \left.\right)^{2} = \frac{9}{8} \neq \frac{9}{16}\),

Do đó điểm \(Q \left(\right. \frac{3}{4} ; \frac{9}{16} \left.\right)\) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

a) Xét tam giác \(A B H\) vuông tại \(H\), ta có \(H B = A H . tan ⁡ \hat{B A H} = 4. tan ⁡ 2 8^{\circ} \approx 2 , 1\) (cm)

Vì tam gaisc \(A H C\) vuông tại \(H\) nên \(H C = A H . cot ⁡ \hat{C} = 4. cot ⁡ 4 1^{\circ} \approx 4 , 6\) (cm)

b) Xét tam giác \(A B H\) vuông tại \(H\), ta có

\(cos ⁡ \hat{B A H} = \frac{A H}{A B}\) hay \(A B = \frac{A H}{cos ⁡ \hat{B A H}} = \frac{4}{cos ⁡ 28 ^{\circ}} \approx 4 , 5\) (cm)

Vì tam giác \(A H C\) vuông tại \(H\) nên \(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C}\) hay \(A C = \frac{A H}{sin ⁡ \hat{C}} = \frac{4}{sin ⁡ 4 1^{\circ}} \approx 6 , 1\) (cm).

Kẻ đường cao \(A H ⊥ B C\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 3. sin ⁡ 6 0^{\circ} \approx 2 , 6\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 3. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 1 , 5\)

Mà \(H C = B C - H B = 4 , 5 - 1 , 5 = 3 , 0\)

Theo định lí Pythagore ta có \(A B^{2} = B H^{2} + A H^{2} = 3^{2} + 2 , 6^{2} = 15 , 76\)

Suy ra \(A B = \sqrt{15 , 76} \approx 4 , 0\)

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có \(tan ⁡ \hat{A C H} = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 6}{3 , 0} \approx tan ⁡ 4 0^{\circ} 5 5^{'}\)

Do \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 6 0^{\circ} + 4 0^{\circ} 5 5^{'} \left.\right) = 7 9^{\circ} 5^{'}\).

Vẽ \(A H ⊥ B C\).

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 1. sin ⁡ 7 0^{\circ} \approx 1 , 97\)

Tương tự, xét \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 1. cos ⁡ 7 0^{\circ} \approx 0 , 72\)

Mặt khác, xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\) ta có

\(sin ⁡ \hat{C} = \frac{A H}{A C} \approx \frac{1 , 97}{3 , 8} \approx sin ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Do đó \(\hat{C} \approx 3 1^{\circ} 1 4^{'}\)

Mà \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \left(\right. 7 0^{\circ} + 3 1^{\circ} 1 4^{'} \left.\right) = 7 8^{\circ} 4 6^{'}\)

Ta có \(H C = A C . cos ⁡ \hat{C} \approx 3 , 80. cos ⁡ 3 1^{\circ} 1 4^{'} \approx 3 , 25\)

Mà \(B C = B H + H C = 0 , 72 + 3 , 25 = 3 , 97\).

Ta có \(\hat{A} = 180 ^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 5^{\circ}\)

Kẻ đường cao \(B H\).

Xét \(\Delta B C H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B H = B C . sin ⁡ \hat{C} = 4 , 2. sin ⁡ 4 0^{\circ} \approx 2 , 70\) (cm)

Tương tự, xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có:

\(A B = \frac{B H}{sin ⁡ \hat{A}} = \frac{2 , 70}{sin ⁡ 7 5^{\circ}} \approx 2 , 8\) (cm)

Mặt khác ta có \(AC=AH+CH=BH.\left(cot⁡\hat{A}+cot⁡\hat{C}\right)\approx2,70.\left(\right.cot⁡75^{\circ}+cot⁡40^{\circ}\left.\right)\approx3,9\) cm.

Ta có \(\hat{A} = 18 0^{\circ} - \hat{B} - \hat{C} = 7 0^{\circ}\).

Kẻ đường cao \(A H\).

Xét \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\), ta có \(A H = A B . sin ⁡ \hat{B} = 2 , 8. sin ⁡ 6 5^{\circ} \approx 2 , 54\) (cm).

Tương tự \(B H = A B . cos ⁡ \hat{B} = 2 , 8. cos ⁡ 6 5^{\circ} \approx 1 , 18\) (cm).

Mặt khác do giả thiết suy ra tam giác \(H A C\) vuông cân tại \(H\) nên \(H A = H C\).

Do đó \(B C \approx 2 , 54 + 1 , 18 = 3 , 7\) (cm).

Xét \(\Delta A H C\) vuông tại \(H\), ta có \(A C = \frac{H A}{sin ⁡ C} = \frac{2 , 54}{sin ⁡ 4 5^{\circ}} \approx 3 , 6\) (cm).