*Problem* Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K. a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID. *Solution* ### a) Chứng minh AHCK là hình bình hành *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - Vì ABCD là hình bình hành, suy ra AD = BC và AD // BC. *Bước 2:* Xét tam giác AHD và tam giác BKC - Vì AH ⊥ BD và CK ⊥ BD, suy ra AH // CK. - Vì AD = BC và $\angle ADH = \angle CBK$ (so le trong), suy ra $\triangle AHD = \triangle BKC$ (cạnh huyền - góc nhọn). - Do đó, AH = CK. *Bước 3:* Chứng minh AHCK là hình bình hành - Vì AH = CK và AH // CK, suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành. ### b) Chứng minh IB = ID *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành AHCK - Vì AHCK là hình bình hành (đã chứng minh ở trên), suy ra đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Vì I là trung điểm của HK, suy ra I cũng là trung điểm của AC. *Bước 2:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - Vì ABCD là hình bình hành, suy ra đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Vì I là trung điểm của AC, suy ra I cũng là trung điểm của BD. *Bước 3:* Kết luận - Vì I là trung điểm của BD, suy ra IB = ID. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.

*Problem* Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành. b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. *Solution* ### a) Chứng minh EBFD là hình bình hành *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - Vì ABCD là hình bình hành, suy ra AD = BC và AD // BC. *Bước 2:* Xét tính chất của E và F - Vì E là trung điểm của AD, suy ra $AE = ED = \frac{1}{2}AD$. - Vì F là trung điểm của BC, suy ra $BF = FC = \frac{1}{2}BC$. - Vì AD = BC, suy ra $ED = BF$. *Bước 3:* Chứng minh EBFD là hình bình hành - Vì AD // BC và E ∈ AD, F ∈ BC, suy ra ED // BF. - Vì ED = BF và ED // BF, suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành. ### b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, suy ra O là trung điểm của cả AC và BD. *Bước 2:* Xét tính chất của hình bình hành EBFD - Vì EBFD là hình bình hành (đã chứng minh ở trên), suy ra đường chéo EF đi qua trung điểm của BD. - Vì O là trung điểm của BD, suy ra O nằm trên đường thẳng EF. *Bước 3:* Kết luận - Vì O nằm trên đường thẳng EF, suy ra ba điểm E, O, F thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.

*Problem* Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành. *Solution* *Bước 1:* Xét tính chất của đường trung tuyến - Vì BM và CN là đường trung tuyến của tam giác ABC, suy ra M và N là trung điểm của AC và AB. *Bước 2:* Xét tính chất của P và Q - Vì P và Q là trung điểm của GB và GC, suy ra: - $GP = \frac{1}{2}GB$ - $GQ = \frac{1}{2}GC$ *Bước 3:* Chứng minh PQ // MN và PQ = MN - Vì M và N là trung điểm của AC và AB, suy ra MN // BC và $MN = \frac{1}{2}BC$. - Vì P và Q là trung điểm của GB và GC, suy ra PQ // BC và $PQ = \frac{1}{2}BC$. - Do đó, PQ // MN và PQ = MN. *Bước 4:* Kết luận - Vì PQ // MN và PQ = MN, suy ra tứ giác PQMN là hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.

*Problem* Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. *Solution* ### a) Chứng minh AEFD, ABFC là hình bình hành *Bước 1:* Xét tứ giác AEFD - Vì B là trung điểm của AE, suy ra AE = 2AB. - Vì C là trung điểm của DF, suy ra DF = 2CD. - Vì ABCD là hình bình hành, suy ra AB = CD và AB // CD. - Do đó, AE = 2AB = 2CD = DF và AE // DF (vì AB // CD). - Suy ra AE // DF và AE = DF, nên AEFD là hình bình hành. *Bước 2:* Xét tứ giác ABFC - Vì B là trung điểm của AE, suy ra AB = BE. - Vì ABCD là hình bình hành, suy ra AB = CD và AB // CD. - Vì C là trung điểm của DF, suy ra CD = CF và CD // CF (vì CD // AB). - Suy ra AB = CF và AB // CF, nên ABFC là hình bình hành. ### b) Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau *Bước 1:* Xét hình bình hành AEFD - Đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. *Bước 2:* Xét hình bình hành ABFC - Đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. *Bước 3:* Kết hợp hai kết quả trên - Suy ra trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau. *Kết luận:* - Hai tứ giác AEFD, ABFC là hình bình hành. - Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ΔOAM = ΔOCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành. *Solution* ### Chứng minh ΔOAM = ΔOCN *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, nên O là trung điểm của cả AC và BD. - Suy ra OA = OC. *Bước 2:* Xét ΔOAM và ΔOCN - OA = OC (O là trung điểm của AC) - $\angle AOM = \angle CON$ (đối đỉnh) - $\angle OAM = \angle OCN$ (so le trong, AB // CD) *Bước 3:* Áp dụng định lý bằng nhau của tam giác - Vì OA = OC, $\angle AOM = \angle CON$, và $\angle OAM = \angle OCN$, suy ra ΔOAM = ΔOCN (g.c.g) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành *Bước 1:* Từ ΔOAM = ΔOCN - Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng) *Bước 2:* Xét tứ giác MBND - Vì O là trung điểm của BD (tính chất hình bình hành) - OM = ON (đã chứng minh) - Suy ra tứ giác MBND có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên MBND là hình bình hành. *Kết luận:* - ΔOAM = ΔOCN - Tứ giác MBND là hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.

a) Chứng minh AEFD, AECF là hình bình hành *Bước 1:* Xét tính chất của hình bình hành ABCD - AB = CD và AB // CD (tính chất của hình bình hành) *Bước 2:* Xét tứ giác AEFD - Vì E, F là trung điểm của AB và CD nên: - $AE = \frac{1}{2}AB$ - $DF = \frac{1}{2}CD$ - Vì AB = CD (tính chất hình bình hành), suy ra AE = DF - Vì AB // CD, suy ra AE // DF - Do đó, tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF, nên AEFD là hình bình hành. *Bước 3:* Xét tứ giác AECF - Vì E, F là trung điểm của AB và CD nên: - $AE = \frac{1}{2}AB$ - $CF = \frac{1}{2}CD$ - Vì AB = CD (tính chất hình bình hành), suy ra AE = CF - Vì AB // CD, suy ra AE // CF - Do đó, tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF, nên AECF là hình bình hành. ### b) Chứng minh EF = AD và AF = EC *Bước 1:* Vì AEFD là hình bình hành (đã chứng minh ở trên) - Suy ra EF = AD (tính chất của hình bình hành) *Bước 2:* Vì AECF là hình bình hành (đã chứng minh ở trên) - Suy ra AF = EC (tính chất của hình bình hành) *Kết luận:* - Hai tứ giác AEFD, AECF là hình bình hành. - EF = AD và AF = EC. Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.