a)Ta có:

AH ⊥ BD, CK ⊥ BD ⇒ AH // CK (1)

∆ABH và ∆CDK có:

ˆAHB=ˆCKD (= 90°)

ˆABH=ˆCDK (2 góc so le trong)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

⇒ ∆ABH = ∆CDK (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (2)

Từ (1), (2) ⇒ tứ giác AHCK là hình bình hành.

   b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh \(I B = I D\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(H K\), mà \(A H C K\) là hình bình hành ⇒ \(A H = C K\) và \(A H \parallel C K\)

⇒ Tam giác \(A B H\) và tam giác \(D K C\) bằng nhau (góc vuông tại H và K, cạnh huyền bằng vì AB = DC, và cạnh góc vuông bằng nhau)

Suy ra: \(B H = D K\), \(A H = C K\) và \(\angle A B H = \angle D K C\)

⇒ Hai đoạn \(I B\) và \(I D\) đối xứng qua trung điểm \(I\) của \(H K\)

⇒ IB = ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành 

b)Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(A B C D\).
⇒ Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
⇒ \(O\) là trung điểm của \(A C\) và cũng là trung điểm của \(B D\).

Ta có:

\(E\) là trung điểm của \(A D\)

\(F\) là trung điểm của \(B C\)

\(O\) là trung điểm của \(B D\)

Xét tam giác \(A D C\):

\(E\) là trung điểm của \(A D\)

\(O\) là trung điểm của \(A C\)
⇒ Đoạn \(E O\) là đường trung bình của tam giác \(A D C\)
⇒ \(E O \parallel D C\)

Xét tam giác \(B C A\):

\(F\) là trung điểm của \(B C\)

\(O\) là trung điểm của \(A C\)
⇒ Đoạn \(F O\) là đường trung bình của tam giác \(B C A\)
⇒ \(F O \parallel A B\)

Mà \(A B \parallel D C\) (vì \(A B C D\) là hình bình hành)
⇒ \(E O \parallel F O\)

Vì hai đoạn thẳng cùng đi qua điểm \(O\) và song song nhau ⇒ Chúng nằm trên một đường thẳng.
⇒ Ba điểm \(E , O , F\) thẳng hàng.

Xét ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng

GB tâm của ∆ABC. Suy ra GM = ; GN = 2 GC 2 (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP = PB = GB (2) 2

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ = QC = GC 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ.

Xét tứ giác PQMN có: GM = GP và GN = GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

 a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.