15

3

2

Cho hình thang \(A B C D\) với \(A B \parallel C D\). Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).

Chứng minh:

Vì \(A B \parallel C D\), nên trong tam giác \(A C D\), ta có đường thẳng \(O B\) cắt hai cạnh \(A D\) và \(A C\).
Khi đó, áp dụng định lí Thales, ta được:

\(\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}\)

Nhân chéo hai vế:

\(O A \cdot O D = O B \cdot O C .\)

\(C\)

Đường thẳng qua \(D\) song song với \(A C\) cắt \(A B\) tại \(E\).
Suy ra hai tam giác:

\(\triangle A E D sim \triangle A B C\)

vì có:

• \(\angle A E D = \angle A B C\)
• \(\angle A D E = \angle A C B\)

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng:

\(\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} \left(\right. 1 \left.\right)\)

2. Xét đường thẳng song song với \(A B\)

Đường thẳng qua \(D\) song song với \(A B\) cắt \(A C\) tại \(F\).
Suy ra hai tam giác:

\(\triangle A F D sim \triangle A B C\)

vì:

• \(\angle A F D = \angle A C B\)
• \(\angle A D F = \angle A B C\)

Từ đồng dạng ta có:

\(\frac{A F}{A C} = \frac{A D}{A B} \left(\right. 2 \left.\right)\)

3. Cộng hai đẳng thức

Cộng (1) và (2):

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{A D}{A C} + \frac{A D}{A B}\)

Lấy mẫu số chung \(A B \cdot A C\):

\(= \frac{A D \cdot A B + A D \cdot A C}{A B \cdot A C} = \frac{A D \left(\right. A B + A C \left.\right)}{A B \cdot A C}\)

Nhưng vì \(D\) nằm trên đoạn \(B C\), ta có:

\(A B + A C \&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{quan}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; A D , \&\text{nbsp}; \text{ta}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i}:\)

Thực tế:

\(\frac{A D}{A C} + \frac{B D + D C - A D}{A B}\)

Ta dùng cách chuẩn hơn:

Từ (1):

\(\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}\)

Từ (2):

\(\frac{A F}{A C} = \frac{A D}{A B}\)

Cộng lại:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{A D}{A C} + \frac{A D}{A B} = A D \left(\right. \frac{1}{A C} + \frac{1}{A B} \left.\right)\)

Nhưng vì các đường song song tạo tam giác đồng dạng ngược nhau, nên:

\(\frac{A E}{A B} = 1 - \frac{E D}{B C}\)

và

\(\frac{A F}{A C} = 1 - \frac{D F}{B C}\)

Cuối cùng tổng bằng:

\(1.\)

Kết luận

\(\boxed{\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1}\)

Nếu

Độ dài đoạn thẳng MN được tính theo công thức MN

AD = 8cm

DB = 4cm