Để tính hiệu suất của hệ thống, ta cần tính công thực tế cần thiết để nâng vật lên độ cao 10 m và công thực tế mà hệ thống thực hiện.

Công thực tế cần thiết để nâng vật lên độ cao 10 m là:

A_thuc = m * g * h

A_thuc = 200 * 10 * 10

A_thuc = 20000 J

Công thực tế mà hệ thống thực hiện là:

A_thuc_te = F1 * s

Vì hệ thống có một ròng rọc cố định và một ròng rọc động, nên:

s = 2 * h

s = 2 * 10

s = 20 m

A_thuc_te = 1500 * 20

A_thuc_te = 30000 J

Hiệu suất của hệ thống là:

H = (A_thuc / A_thuc_te) * 100

H = (20000 / 30000) * 100

H = 66,67%

Vậy hiệu suất của hệ thống là 66,67%.

Ta có cơ năng của vật là:

W = Wd + Wt

37,5 = Wd + Wt

Vì Wd = (2/3)Wt, nên:

37,5 = (2/3)Wt + Wt

37,5 = (5/3)Wt

Wt = 37,5 * (3/5)

Wt = 22,5 J

Wd = 37,5 - 22,5

Wd = 15 J

Ta có:

Wd = mgh

15 = m * 10 * 3

m = 15 / 30

m = 0,5 kg

Vận tốc của vật ở độ cao đó là:

Wt = (1/2)mv^2

22,5 = (1/2) * 0,5 * v^2

v^2 = 22,5 * 2 / 0,5

v^2 = 90

v = √90

v ≈ 9,49 m/s

Vậy khối lượng của vật là 0,5 kg và vận tốc của vật ở độ cao đó là khoảng 9,49 m/s.

Để tính công của lực kéo, ta cần tính thành phần của lực kéo theo phương ngang.

Lực kéo hợp với phương ngang một góc 60o, nên thành phần của lực kéo theo phương ngang là:

F_ngang = F * cos(60o)

F_ngang = 200 * 0,5

F_ngang = 100 N

Công của lực kéo là:

A = F_ngang * s

A = 100 * 10

A = 1000 J

Công suất của người đó là:

P = A / t

P = 1000 / 5

P = 200 W

Vậy công của lực kéo là 1000 J và công suất của người đó là 200 W.

Để tìm độ rộng viền khung ảnh tối đa, ta cần tính diện tích của cả khung ảnh.

Diện tích của phần trong khung ảnh là:

S1 = 17 * 25 = 425 cm^2

Diện tích của cả khung ảnh là:

S = S1 + 2x(17 + 25) + 4x^2

S = 425 + 2x(42) + 4x^2

S = 425 + 84x + 4x^2

Ta cần tìm giá trị của x để S lớn nhất là 513 cm^2.

Ta có:

513 = 425 + 84x + 4x^2

88 = 84x + 4x^2

4x^2 + 84x - 88 = 0

x^2 + 21x - 22 = 0

(x + 22)(x - 1) = 0

x = -22 hoặc x = 1

Vì độ rộng viền khung ảnh không thể là số âm, nên x = 1.

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa là 1 cm.

a) Để tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ1, ta cần:

Vecto pháp tuyến của Δ là n = (3, 4).

Vecto pháp tuyến của Δ1 là n1 = (5, -12).

Sử dụng công thức:

cosα = |n . n1| / (|n| * |n1|)

cosα = |(3, 4) . (5, -12)| / (√(3^2 + 4^2) * √(5^2 + (-12)^2))

cosα = |15 - 48| / (√(9 + 16) * √(25 + 144))

cosα = |-33| / (√25 * √169)

cosα = 33 / (5 * 13)

cosα = 33/65

Vậy cosα = 33/65.

b) Để viết phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C), ta cần:

Vecto pháp tuyến của Δ là n = (3, 4).

Vecto chỉ phương của Δ là u = (4, -3).

Đường thẳng vuông góc với Δ có vecto chỉ phương là n.

Đường thẳng này đi qua điểm M là tiếp điểm của đường tròn (C) với đường thẳng này.

Khoảng cách từ tâm I(3; -2) của đường tròn (C) đến đường thẳng này là bằng với bán kính r = √36 = 6 của đường tròn (C).

Khoảng cách từ I(3; -2) đến đường thẳng này là:

d = |3(3) + 4(-2) + c| / √(3^2 + 4^2)

d = |9 - 8 + c| / √(9 + 16)

d = |c + 1| / 5

Vì d = 6, nên:

|c + 1| = 30

c + 1 = ±30

c = -31 hoặc c = 29

Vậy có hai đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C) với phương trình:

3x + 4y - 31 = 0 hoặc 3x + 4y + 29 = 0.

a) Để tam thức bậc hai f(x) = x^2 + (m - 1)x + m + 5 dương với mọi x ∈ R, ta cần:

Điscriminant Δ của f(x) phải nhỏ hơn 0.

Δ = (m - 1)^2 - 4(1)(m + 5) < 0

m^2 - 2m + 1 - 4m - 20 < 0

m^2 - 6m - 19 < 0

(m - 3 - √(9 + 19))(m - 3 + √(9 + 19)) < 0

(m - (3 + √28))(m - (3 - √28)) < 0

Vậy m ∈ (3 - √28, 3 + √28).

b) Để giải phương trình 2x^2 - 8x + 4 = x - 2, ta cần:

Đưa tất cả các hạng tử về một vế:

2x^2 - 9x + 6 = 0

Tiếp theo, ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Trong trường hợp này, a = 2, b = -9, c = 6.

x = (9 ± √((-9)^2 - 4(2)(6))) / (2(2))

x = (9 ± √(81 - 48)) / 4

x = (9 ± √33) / 4

Vậy có hai nghiệm:

x = (9 + √33) / 4 và x = (9 - √33) / 4.