a,Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

N là trung điểm của AD , M là trung điểm của BC nên AN = ND = 1/2 AD và BM = MC = 1/2 BC

Suy ra ND = MC và ND // MC

Tứ giác MCDN có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên MCDN là hình bình hành

Hình bình hành MCDN có CD = AB.

Theo giả thiết,

AD = 2AB suy ra ND = 1/2 AD = 1/2(2AB) = AB

Do đó CD= ND

Hình bình hành MCDN có hai cạnh kề bằng nhau nên MCDN là hình thoi

b, vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC . Do đó AD // BM , suy ra tứ giác ABMD là hình thang

Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = CD

Theo phần a ta có ND = CD

Vì Nó là trung điểm của AD và AD = 2AB , ta có AN = ND = AB

Xét tam giác ABC, ta có AB = AN nên tam giác ABN cân tại A

Ta có góc BAD = 60° nên tam giác ABN đều. Suy ra BN = AB

Xét tam giác ABD, ta có AD = 2AB

Trong tam giác ABD , đường trung tuyến BN có độ dài bằng nửa cạnh AD ( vì BN = AB và AD = 2AB)

Do đó tam giác ABD vuông tại B

Suy ra góc ABD = 90°

Xét hình thang ABMD , ta có

Góc DAM = góc BAD = 60° và
Góc ABM = ABC = 180° - góc BAD = 180° - 60° = 120°

Ta có AB = ND = MC

Vì MCND là hình thoi nên CM = CN = ND = DM

Do đó AB = DM

Hình thang ABMD có hai cạnh bên bằng nhau nên ABMD là hình thang cân

c, Xét tam giác KAD có BM//AD nên BM/AD = KM/ KD = KB/ KA

Suy ra KM/KD = KB/KA =1/2

Suy ra M là trung điểm của KD , B là trung điểm của KA

Xét tam giác KAD có

AM, DB, KN là trung tuyến

Suy ra AM, DB, KN đồng quy

a,Xét tam giác AOP và tam giác BOR ta có:

OA = OB ( hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Góc OAP = góc OBR = 45° ( tính chất đường chéo của hình vuông)

Góc AOB = 90° ( hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau)

Ta có góc AOP + góc POB = 90° và góc BOR + góc POB = 90° ( vì m vuông góc với n tại O, nên góc POR = 90° và góc AOB = 90° )

Suy ra góc AOP = góc BOR

Vậy tam giác AOP = tam giác BOR ( g.c.g)

b, Ta có tam giác AOP = tam giác BOR ( cmt) suy ra OP = OR ( hai cạnh tương ứng)

Tương tự, ta có thể chứng minh tam giác BOR= tam giác COS ( g.c.g ) suy ra OR = OS

Tương tự, ta có thể chứng minh tam giác COS = tam giác DOQ (g.c.g) suy ra OS = OQ

Tương tự,ta có thể chứng minh tam giác DOQ = tam giác AOP (g.c.g) suy ra OQ = OP

Từ đó suy ra OP= OR = OS = OQ

c, Từ kết quả phần b. Ta đc tứ giác PRQS có hai đường chéo PQ và RS bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường

Suy ra PRQS là hình bình hành

Mặt khác, hai đường chéo PQ và RS vuông góc với nhau tại O ( vì m vuông góc với n tại O)

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông

Vậy PRQS là hình vuông