a) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của hình bình hành $ABCD$. $\Rightarrow MN = AB = CD$ và $MN \parallel AB \parallel CD$. Ta có: $AD = 2AB$ và $N$ là trung điểm của $AD$, nên $AN = ND = AB$. $\Rightarrow MC = ND = AB$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $AB = CD$). Xét tứ giác $MCDN$, ta có: - $MC = ND = MN = CD$ $\Rightarrow MCDN$ là hình thoi. b) Xét tứ giác $ABMD$, ta có: - $AB \parallel MD$ (do $AB \parallel CD$) - $AD = 2AB$ và $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là trung điểm của $AD$, nên $BM = AN$. $\Rightarrow ABMD$ là hình thang cân. Ta có: $AM = BD$ (tính chất hình thang cân). c) Gọi $O$ là giao điểm của $AM$ và $DB$. Xét $\triangle ABD$, ta có: - $AN = ND$ - $BM = MC$ $\Rightarrow KN \parallel BM$ và $KN = BM$ (tính chất đường trung bình). $\Rightarrow BMKN$ là hình bình hành. $\Rightarrow BK$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $O$ là trung điểm của $AM$ và $DB$, nên $O$ cũng là trung điểm của $KN$. Vậy $AM, DB, KN$ đồng quy tại $O$.

a) Xét $\triangle AOP$ và $\triangle BOR$, ta có: - $\widehat{AOP} = \widehat{BOR} = 90^\circ$ (do $m \perp n$) - $AO = BO$ (tính chất hình vuông) - $\widehat{OAB} = \widehat{OBC} = 45^\circ$ (tính chất hình vuông) $\Rightarrow \triangle AOP = \triangle BOR$ (g.c.g) b) Từ $\triangle AOP = \triangle BOR$, ta có $OP = OR$. Chứng minh tương tự, ta có: - $\triangle BOR = \triangle COS$ (g.c.g) $\Rightarrow OR = OS$ - $\triangle COS = \triangle DOQ$ (g.c.g) $\Rightarrow OS = OQ$ - $\triangle DOQ = \triangle AOP$ (g.c.g) $\Rightarrow OQ = OP$ Vậy $OP = OR = OS = OQ$. c) Xét tứ giác $PRQS$, ta có: - $OP = OR = OS = OQ$ (cmt) - $\widehat{POR} = 90^\circ$ (do $m \perp n$) $\Rightarrow PRQS$ là hình vuông (hình thoi có một góc vuông). Vậy $PRQS$ là hình vuông.