Giả thiết:

• \(\triangle D E F\) vuông tại \(D\), có \(D E > D F\).
• \(D M\) là đường trung tuyến ⇒ \(M\) là trung điểm của \(E F\).
• \(M N \bot D E\), \(M K \bot D F\).
• Trên tia \(M N\) lấy \(H\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(M H\).

a) Tứ giác \(D K M N\) là hình gì?

Xét tứ giác \(D K M N\):

Ta có:

• \(M N \bot D E\) (theo giả thiết).
• \(D K \bot D F\) (vì \(K\) thuộc đường vuông góc từ \(M\) xuống \(D F\)).
• Mà trong tam giác \(D E F\) vuông tại \(D\), \(D E \bot D F\).

⇒ \(M N \parallel D K\).

Tương tự, ta có:

• \(M K \bot D F\),
• \(D N \bot D E\),
  mà \(D E \bot D F\) nên \(M K \parallel D N\).

→ \(D K M N\) có hai cặp cạnh đối song song
⇒ \(D K M N\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(H , O , F\) thẳng hàng

Phân tích:

• \(O\) là trung điểm của \(D M\).
• \(N\) là trung điểm của \(M H\).

Từ (a), \(D K M N\) là hình bình hành ⇒ \(D K \parallel M N\), \(D M \parallel K N\).
Do đó, đoạn nối trung điểm của hai cạnh kề trong hình bình hành song song với đường chéo còn lại.

Cụ thể:
Trong \(\triangle D M F\), \(O\) là trung điểm của \(D M\), \(M\) là trung điểm của \(E F\).
⇒ Đường thẳng \(O F\) song song với cạnh đáy tương ứng qua định lý trung điểm.

Từ đó, khi kéo dài \(M N\) đến \(H\) (với \(N\) là trung điểm của \(M H\)), ta thấy \(O\) nằm trên đường trung bình của \(\triangle D M F\).
Suy ra các điểm \(H , O , F\) cùng nằm trên một đường thẳng.

Kết luận: \(H , O , F\) thẳng hàng.

c) \(\triangle D E F\) cần thêm điều kiện gì để \(D K M N\) là hình vuông?

Từ (a), \(D K M N\) luôn là hình bình hành.

Để là hình vuông, cần:

1. Hình bình hành có một góc vuông (hoặc các cạnh kề bằng nhau).
   ⇒ \(D K = K N\).

Ta có \(D K = M K\) và \(M N = M K\) nếu hai cạnh \(D E = D F\).

Vì \(D E > D F\), muốn \(D K M N\) là hình vuông, cần tam giác \(D E F\) vuông cân tại \(D\), tức là:

\(D E = D F\)

\(\Delta\text{DEF}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp}; D E = D F \&\text{nbsp};(\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{D})\&\text{nbsp};\text{th} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; D K M N \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}.\)

Giả thiết:

• Hình chữ nhật \(A B C D\) có \(A B = 2 B C\).
• \(I\) là trung điểm của \(A B\), \(K\) là trung điểm của \(D C\).

a) Chứng minh \(A I K D\) và \(B I K C\) là hình vuông

Xét tứ giác \(A I K D\):

Vì \(A B C D\) là hình chữ nhật ⇒ các góc vuông.

• \(I\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(A I = \frac{A B}{2}\).
• \(K\) là trung điểm của \(D C\) ⇒ \(D K = \frac{D C}{2}\).
  Mà trong hình chữ nhật \(A B = D C\) ⇒

\(A I = D K\)

Ta có:

• \(A I \parallel D K\) (vì cùng song song với cạnh \(B C\))
• \(A D \parallel I K\) (vì cùng song song với cạnh \(A B\))

→ \(A I K D\) là hình bình hành.

Hơn nữa, vì \(A B C D\) là hình chữ nhật nên góc tại \(A\) là \(90^{\circ}\).
→ \(A I K D\) là hình bình hành có góc vuông ⇒ là hình chữ nhật.

Lại có \(A I = A D = \frac{A B}{2} = B C\) (vì \(A B = 2 B C\))
→ Các cạnh kề nhau bằng nhau ⇒ \(A I K D\) là hình vuông.

Tương tự chứng minh cho \(B I K C\), ta cũng có:

• \(B I = \frac{A B}{2} = B C = K C\)
  → \(B I K C\) là hình vuông.

Kết luận:

\(A I K D \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B I K C \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}.\)

b) Chứng minh \(\triangle D I C\) vuông cân

Vì \(I\) là trung điểm của \(A B\), \(K\) là trung điểm của \(D C\), nên \(I K \parallel A D\) và \(I K = A D = B C\).

Từ hai hình vuông \(A I K D\) và \(B I K C\), ta suy ra điểm \(I , D , C\) tạo thành một tam giác có:

• \(D I = D C\) (hai cạnh của hai hình vuông bằng nhau)
• Góc \(D I C = 90^{\circ}\) (do hình vuông tạo ra hai cạnh vuông góc).

⇒ \(\triangle D I C\) có hai cạnh bằng nhau và một góc vuông
/→ Là tam giác vuông cân tại \(I\).

c) Gọi \(S , R\) lần lượt là tâm của hai hình vuông \(A I K D\) và \(B I K C\).

Chứng minh \(I S K R\) là hình vuông.

Ta biết:

• Tâm của hình vuông là giao điểm hai đường chéo.
• Trong hai hình vuông \(A I K D\) và \(B I K C\), các đường chéo bằng nhau và vuông góc.
• Do hai hình vuông có cạnh bằng nhau, \(S\) và \(R\) nằm đối xứng qua trục \(I K\).
• \(I S = S K = K R = R I\) (do cùng là nửa đường chéo của các hình vuông có cạnh bằng nhau).
• Các góc giữa các đoạn liên tiếp đều vuông.

⇒ Tứ giác \(I S K R\) có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.

\(I S K R \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}.\)

Giả thiết:

Hình vuông \(A B C D\), có

\(A M = B N = C P = D Q\)

Các điểm \(M , N , P , Q\) lần lượt nằm trên các cạnh \(A B , B C , C D , D A .\)

a) Chứng minh \(M B = N C = P D = Q A\)

Vì \(A B = B C = C D = D A = a\) (cạnh hình vuông)
và \(A M = B N = C P = D Q = x\)

→ \(M B = A B - A M = a - x\)
→ \(N C = B C - B N = a - x\)
→ \(P D = C D - C P = a - x\)
→ \(Q A = D A - D Q = a - x\)

Suy ra:

\(M B = N C = P D = Q A = a - x\)

b) Chứng minh \(\triangle Q A M = \triangle N C P\)

Xét hai tam giác \(Q A M\) và \(N C P\):

• \(A B C D\) là hình vuông ⇒ các góc tại đỉnh \(A , C\) đều bằng \(90^{\circ}\).
• \(A M = C P\) (theo giả thiết).
• \(A Q = C N\) (vì đều bằng \(x\)).

Theo trường hợp cạnh – góc vuông – cạnh (c.g.v)

\(\triangle Q A M = \triangle N C P\)

Suy ra:

\(\triangle Q A M \cong \triangle N C P\)

c) Chứng minh \(M N P Q\) là hình vuông

Để chứng minh tứ giác \(M N P Q\) là hình vuông, ta cần chứng minh:

1. \(M N P Q\) là hình chữ nhật.
2. Các cạnh của nó bằng nhau.

Vì \(A B C D\) là hình vuông ⇒ các cạnh vuông góc nhau.
→ Các đoạn \(M N , P Q\) song song và bằng nhau (vì cùng nằm trên hai cạnh vuông góc liền kề của hình vuông, và cắt cùng khoảng cách \(x\)).
Tương tự, \(N P \parallel M Q\).

⇒ \(M N P Q\) là hình bình hành có các góc vuông → là hình chữ nhật.

Từ tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau ở trên, suy ra:

\(M N = P Q \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} N P = M Q\)

và do tính đối xứng của hình vuông,

\(M N = N P\)
Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông
→ \(M N P Q\) là hình vuông.

Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\). Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), ta chọn \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) với \(b > 0 , c > 0\). Khi đó

\(M \&\text{nbsp};(\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , I \&\text{nbsp};(\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A C \left.\right) = \left(\right. 0 , \frac{c}{2} \left.\right) .\)

Vector \(\overset{\rightarrow}{I M} = M - I = \left(\right. \frac{b}{2} , 0 \left.\right)\). Theo đề, \(K\) nằm trên tia đối của \(I M\) sao cho \(I K = I M\), nên

\(K = I - \overset{\rightarrow}{I M} = \left(\right. 0 , \frac{c}{2} \left.\right) - \left(\right. \frac{b}{2} , 0 \left.\right) = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) .\)

a) Chứng minh \(A M C K\) là hình thoi

Tính các vector cạnh liên tiếp của tứ giác \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ } M \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , \textrm{ } C \left(\right. 0 , c \left.\right) , \textrm{ } K \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)\):

\(\overset{\rightarrow}{A M} = \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{M C} = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{C K} = \left(\right. - \frac{b}{2} , - \frac{c}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{K A} = \left(\right. \frac{b}{2} , - \frac{c}{2} \left.\right) .\)

Mỗi vector có cùng độ dài \(\sqrt{\left(\right. \frac{b}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{c}{2} \left.\right)^{2}}\). Do đó bốn cạnh bằng nhau nên \(A M C K\) là hình thoi. (Ngoài ra \(\overset{\rightarrow}{A M} = - \overset{\rightarrow}{C K}\) và \(\overset{\rightarrow}{M C} = - \overset{\rightarrow}{K A}\), nên các cạnh đối song song.)

b) Chứng minh \(A K M B\) là hình bình hành

Xét tứ giác \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , K \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , M \left(\right. \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , B \left(\right. b , 0 \left.\right)\). Tính:

\(\overset{\rightarrow}{A K} = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{M B} = B - M = \left(\right. b - \frac{b}{2} , \textrm{ } 0 - \frac{c}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} , - \frac{c}{2} \left.\right) .\)

Ta thấy \(\overset{\rightarrow}{A K} = - \overset{\rightarrow}{M B}\), nên \(A K \parallel M B\) và bằng độ dài.
Cạnh kia:

\(\overset{\rightarrow}{K M} = M - K = \left(\right. \frac{b}{2} - \left(\right. - \frac{b}{2} \left.\right) , \textrm{ } \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \left.\right) = \left(\right. b , 0 \left.\right) = \overset{\rightarrow}{A B} .\)

Vậy \(K M \parallel A B\) và bằng độ dài. Suy ra hai cặp cạnh đối của \(A K M B\) song song nên \(A K M B\) là hình bình hành.

c) Điều kiện để \(A M C K\) là hình vuông

Hình thoi trở thành hình vuông khi một góc bằng \(90^{\circ}\), tức hai cạnh kề vuông góc. Lấy hai vector kề ở \(M\):

\(\overset{\rightarrow}{M A} = - \overset{\rightarrow}{A M} = \left(\right. - \frac{b}{2} , - \frac{c}{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{M C} = \left(\right. - \frac{b}{2} , \frac{c}{2} \left.\right) .\)

Tích vô hướng

\(\overset{\rightarrow}{M A} \cdot \overset{\rightarrow}{M C} = \left(\right. - \frac{b}{2} \left.\right) \left(\right. - \frac{b}{2} \left.\right) + \left(\right. - \frac{c}{2} \left.\right) \left(\right. \frac{c}{2} \left.\right) = \frac{b^{2}}{4} - \frac{c^{2}}{4} = \frac{b^{2} - c^{2}}{4} .\)

Để vuông góc cần tích vô hướng \(= 0\), tức \(b^{2} - c^{2} = 0 \Rightarrow b = c\).

Vậy điều kiện: \(A B = A C\) (hai cạnh góc vuông bằng nhau), tức \(\triangle A B C\) phải là tam giác vuông cân tại \(A\). Khi đó \(A M C K\) là hình vuông.

Ta làm bằng tọa độ cho nhanh và rõ ràng.

Gọi \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\). Vì \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\) nên ta có thể đặt \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\) (lấy \(A B = A C = 1\)).

Tập hợp điểm trên \(B C\) phân ba phần bằng nhau theo thứ tự từ \(B\) đến \(C\):

Suy ra

Đường thẳng \(B C\) có phương trình \(x + y = 1\), nên nó có hệ số góc \(- 1\). Các đường qua \(H\) và \(G\) vuông góc với \(B C\) có hệ số góc \(1\) (đường chéo theo phương \(y = x + \text{const}\)). Giao của đường qua \(H\) (hệ số góc \(1\)) với \(A B\) (trục \(x\), tức \(y = 0\)) cho điểm

Giao của đường qua \(G\) với \(A C\) (trục \(y\), tức \(x = 0\)) cho điểm

a) Xét \(\triangle B H E\).

• Vector \(\overset{\rightarrow}{B H} = H - B = \left(\right. \frac{2}{3} - 1 , \frac{1}{3} - 0 \left.\right) = \left(\right. - \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \left.\right)\) nằm trên \(B C\).
• Vector \(\overset{\rightarrow}{H E} = E - H = \left(\right. \frac{1}{3} - \frac{2}{3} , \textrm{ } 0 - \frac{1}{3} \left.\right) = \left(\right. - \frac{1}{3} , - \frac{1}{3} \left.\right)\).

Ta thấy \(\overset{\rightarrow}{B H} \cdot \overset{\rightarrow}{H E} = \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{3} \left.\right) \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) = 0\). Do đó \(B H \bot H E\) (tam giác vuông tại \(H\)).

Độ dài:

Vậy \(B H = H E\). Kết luận: \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân (vuông tại \(H\) và hai cạnh kề bằng nhau).

b) Chứng minh \(E F G H\) là hình vuông.

Từ các tọa độ tìm được:

Tính các đoạn cạnh kề:

Như vậy bốn cạnh bằng nhau.

Vì \(H E\) vuông góc với \(B C\) và \(H G\) nằm trên \(B C\), suy ra \(H E \bot H G\). Tương tự \(H G \bot G F\), \(G F \bot F E\) và \(F E \bot E H\) (hoặc xét trực tiếp tích vô hướng các vectơ cạnh kề đều bằng \(0\)). Do đó tứ giác \(E F G H\) có bốn cạnh bằng nhau và góc giữa hai cạnh kề bằng \(90^{\circ}\) nên đó là hình vuông.

Kết luận: a) \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân. b) \(E F G H\) là hình vuông. ∎

Giả sử ∠xOy = 90°, tia Om là phân giác, nên
\(\hat{x O m} = \hat{m O y} = 45 ° .\)

Lấy điểm A trên Om, kẻ AB ⟂ Ox, AC ⟂ Oy, hai đường này lần lượt cắt \(O x\) tại \(B\) và \(O y\) tại \(C\).

• Vì \(A B \bot O x\) nên \(A B \bot O B\).
• Vì \(A C \bot O y\) nên \(A C \bot O C\).
• Mà \(O x \bot O y\) (do ∠xOy = 90°)
  ⇒ Hai góc tại O và A của tứ giác OBAC đều là góc vuông.
  → OBAC là hình chữ nhật.

Gọi \(O A = a\).

Vì Om là tia phân giác của góc 90°, nên điểm A có vị trí thỏa mãn

\(\hat{x O A} = 45 ° .\)

Trong tam giác vuông \(O A B\), ta có:

\(O B = O A cos ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ,\) \(A B = O A sin ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} .\)

⇒ \(O B = A B .\)

Tương tự trong tam giác vuông \(O A C\):

\(O C = O A cos ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ,\) \(A C = O A sin ⁡ 45 ° = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} .\)

⇒ \(O C = A C .\)

→ Bốn cạnh \(O B , B A , A C , C O\) bằng nhau.

Tứ giác OBAC có:

• Bốn góc vuông,
• Bốn cạnh bằng nhau.

⇒ OBAC là hình vuông.