A,Chứng minh đồng dạng:

• Xét tam giác \(A B E\) và tam giác \(A C F\):
• • \(\angle A E B = 90^{\circ}\), vì \(B E\) là đường cao.
  • \(\angle A F C = 90^{\circ}\), vì \(C F\) là đường cao.
  • \(\angle B A E = \angle C A F\) (góc chung của tam giác ABC).

⇒ Tam giác  ABE đồng dạng ACF (g.g – góc góc).

Suy ra:

Từ hai tam giác đồng dạng, ta có:

\(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow A B \cdot A F = A C \cdot A E\)

B,Chứng Chứng minh:

• Tam giác \(A B E sim A C F \Rightarrow \angle A E B = \angle A F C\)
• Xét tứ giác \(A F E C\), do \(C F \bot A B\), \(B E \bot A C\), hai đường cao cắt nhau tại H ⇒ các điểm E, F nằm trên các đường vuông góc với các cạnh.
• Khi kéo dài \(E F\), nối với các cạnh của tam giác, ta thấy:
• • Tứ giác \(C F E B\) là tứ giác nội tiếp ⇒ \(\angle A F E = \angle A C B\) (đồng dạng hoặc góc đối đỉnh trong tam giác).

• Tam giác \(A B E sim A C F \Rightarrow \angle A E B = \angle A F C\)
• Xét tứ giác \(A F E C\), do \(C F \bot A B\), \(B E \bot A C\), hai đường cao cắt nhau tại H ⇒ các điểm E, F nằm trên các đường vuông góc với các cạnh.
• Khi kéo dài \(E F\), nối với các cạnh của tam giác, ta thấy:
• • Tứ giác \(C F E B\) là tứ giác nội tiếp ⇒ \(\angle A F E = \angle A C B\) (đồng dạng hoặc góc đối đỉnh trong tam giác).

Vì hai đường thẳng song song nên chúng có cùng hệ số góc:

\(a = - 3\)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) đi qua điểm \(A \left(\right. 1 , - 8 \left.\right)\), nên tọa độ điểm này phải thỏa mãn phương trình \(y = a x + b\):

\(- 8 = - 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = - 8 + 3 = - 5\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(y = - 3 x - 5\)

• Lúc về quê: vận tốc 30 km/h
• Lúc lên thành phố: vận tốc 25 km/h
• Thời gian lên thành phố nhiều hơn thời gian về quê: 20 phút = \(\frac{1}{3}\) giờ
• Gọi quãng đường từ thành phố về quê là \(x\) km.
• Thời gian về quê: \(\frac{x}{30}\) giờ
• Thời gian lên thành phố: \(\frac{x}{25}\) giờ

Theo đề bài:

\(\frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3}\)

Tìm mẫu số chung và giải phương trình:

\(\frac{6 x - 5 x}{150} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{150} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{150}{3} = 50\)

Vậy quãng đường từ tp về quê là 50km