a) Chứng minh MN //DE

Trong tam giác ABC: N là trung điểm AB, M là trung điểm AC (vì BM, CN là trung tuyến). Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC. MN // BC và MN = 1/2 BC.

Trong tam giác GBC: D là trung điểm GB, E là trung điểm GC.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác GBC.

DE // BC và DE = 1/2 BC.

Vì MN và DE cùng song song và bằng 1/2 BC, nên MN // DE (và MN = DE).

b) Chứng minh ND // ME Xét tứ giác MNDE: Theo chứng minh ở câu a, ta có MN //DE và MN = DE.

suy ra ND//ME

a) Chứng minh O là trung điểm của AD

Xét tam giác BCM:

Ta có D là trung điểm của BC (do AD là trung tuyến).

DK //BM (cách vẽ).

K là trung điểm của MC (định nghĩa đường trung bình).

Suy ra: MK = KC = 1/2 MC.

Mối liên hệ giữa các đoạn thẳng trên AC:

AM = MC. (gt)

Theo chứng minh trên: MK = MC.

AM = MK. Do đó M là trung điểm của AK.

Xét tam giác ADK:

Ta có M là trung điểm của AK (chứng minh trên).

MO // DK (vì BM //DK).

O là trung điểm của AD (định lý đường trung bình trong tam giác)

b) Chứng minh OM = 1/4 BM

MO là đường trung bình (vì M, O lần lượt là trung điểm

của AK, AD).

MO = 1/2 DK hay DK = 2OM

Xét tam giác BCM:

DK là đường trung bình (vì D, K lần lượt là trung điểm của

BC, MC).

DK = 1/2 BM.

Từ hai điều trên, ta có: 2OM = 1/2 BM.

Chia cả hai vế cho 2, ta được: OM = 1/4 BM

a) Chứng minh AD = 1/2 DC

​Xét tam giác AD:

​Trong tam giác AMK, ta có I là trung điểm của AM (giả thiết).

​ID // MK (vì BD // MK ).

​ D là trung điểm của AK (tính chất đường trung bình).

​Do đó: AD = DK (1)

​Xét tam giác BDC:

​Ta có M là trung điểm của BC (giả thiết AM là trung tuyến).

​MK ///BD (theo cách vẽ).

​ K là trung điểm của DC (tính chất đường trung bình).

​Do đó: DK = KC (2)

​Kết luận:

​Từ (1) và (2), ta có: AD = DK = KC.

​Vì DC = DK + KC = 2AD, nên suy ra: AD = 1/2 DC .

​b) So sánh độ dài BD và ID

​Từ tam giác AMK:

​Vì ID là đường trung bình của tam giác AMK (do I, D lần lượt là trung điểm của AM, AK).

​ ID = 1/2 MK hay MK = 2 ID.

​Từ tam giác BDC:

​Vì MK là đường trung bình của tam giác BDC (do M, K lần lượt là trung điểm của BC, DC).

​ MK = 1/2 BD hay BD = 2 MK.

​Thay thế giá tri

​Ta có BD = 2 MK = 2 ID = 4 ID.