Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta A I E \sim \Delta A C I\) (g.g) suy ra \(\frac{A I}{A C} = \frac{A E}{A I}\) hay \(A I^{2} = A E . A C\) (1)

Chứng minh tương tự:

\(\Delta A I K \sim \Delta A K B\) (g.g) suy ra \(\frac{A K}{A B} = \frac{A F}{A K}\) hay \(A K^{2} = A B . A F\) (2)

Mà \(\Delta A B E \sim \Delta A C F\) (g.g) suy ra \(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}\) hay \(A B . A F = A C . A E\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(A I^{2} = A K^{2}\) suy ra \(A I = A K\).

b) Vì \(\hat{A} = 60^{\circ}\) suy ra \(\hat{B_{1}} = 30^{\circ}\)

Trong tam giác \(A B E\) vuông tại \(E\) nên \(A E = \frac{1}{2} A B ,\)

Trong tam giác \(A F C\) vuông tại \(F\) có \(\hat{C_{1}} = 30^{\circ}\) suy ra \(A F = \frac{1}{2} A C\).

Do đó, \(\Delta A E F \sim \Delta A B C\) (c.g.c).

suy ra \(\frac{S_{A E F}}{S_{A B C}} = \left(\left(\right. \frac{A E}{A B} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S_{A E F} = \frac{1}{4} . 120 = 30\) cm\(^{2}\).

Hướng dẫn giải:

Gọi \(B F\) cắt \(D C\) tại \(K\), \(B E\) cắt \(D C\) tại \(I\), và \(E F\) cắt \(A B\) tại \(G\).

\(\Delta F A B\) có \(D K\) // \(A B\) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{F D}{F A}\) (1)

\(\Delta F A G\) có \(D H\) // \(A G\) suy ra \(\frac{D H}{A G} = \frac{F D}{F A}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{D H}{A G}\) hay \(\frac{D K}{D H} = \frac{A B}{A G}\) (*)

Tương tự \(\Delta E I C\) có \(A B\) // \(I C\) suy ra \(\frac{I C}{A B} = \frac{E C}{E A}\) (3)

\(\Delta E H C\) có \(H C\) // \(A B\) suy ra \(\frac{H C}{A G} = \frac{E C}{E A}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{I C}{A B} = \frac{H C}{A G}\) hay \(\frac{I C}{H C} = \frac{A B}{A G}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{D K}{D H} = \frac{I C}{H C}\).

Mà \(D H = H C\) (gt) suy ra \(D K = I C\)

Mặt khác \(B D = B C\) (gt) nên \(\Delta B D C\) cân

Suy ra \(\hat{B D K} = \hat{B C I}\)

Vậy \(\Delta B D K = \Delta B C I\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{D B K} = \hat{C B I}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\Delta A B E\) có \(A M\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B K\) suy ra \(\frac{E B}{E D} = \frac{E K}{E A}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{E A}\) nên \(A E^{2} = E K . E G\).

b) Từ \(\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\) suy ra \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1\)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A E}{E K} = \frac{E D}{E B}\)

     \(\frac{A E}{A E + E K} = \frac{E D}{E D + E B}\)

     \(\frac{A E}{A K} = \frac{E D}{D B}\) (3)

Tương tự \(\Delta A E B\) có \(A B\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{B E}{E D}\)

     \(\frac{A E}{A E + E G} = \frac{B E}{B E + E D}\)

     \(\frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Khi đó \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{E D}{B D} + \frac{B E}{B D} = 1\).

c) Ta có \(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G}\) suy ra \(B K = \frac{K C . A B}{C G}\) và \(\frac{K C}{A D} = \frac{C G}{D G}\).

Suy ra \(D G = \frac{A D . C G}{K C}\)

Nhân theo vế ta được \(B K . D G = A B . A D\) không đổi.

1. Sử dụng tỉ số diện tích cho  :
   Vì tam giác   và   có chung đường cao hạ từ   xuống đường thẳng  , và tam giác   và   có chung đường cao hạ từ   xuống  , ta có:
   Theo tính chất của tỉ lệ thức:
   
2. Sử dụng tỉ số diện tích cho  :
   Tương tự, xét các tam giác có chung đường cao hạ từ   và   xuống  :
   
3. Sử dụng tỉ số diện tích cho  :
   Tương tự với cạnh  :
   
4. Kết luận:
   Cộng hai biểu thức ở bước 2 và 3, ta có:
   Đối chiếu với kết quả ở bước 1, ta được điều phải chứng minh:
   

1. Qua  , kẻ đường thẳng song song với  .
2. Kéo dài   và   cắt đường thẳng này lần lượt tại   và  .
3. Áp dụng định lý Thales cho các cặp đường song song (  và  ):
4. • Xét   và   có  : 
   • Xét   và   có  : 
     
5. Xét   và  ,   và   (hoặc dùng hệ quả Thales cho   và  ):
6. • Do  , theo hệ quả định lý Thales: 
7. Từ đó suy ra:   (đpcm)

Lưu ý: Việc tách này có vẻ hơi phức tạp, chúng ta có một cách tiếp cận khác trực diện hơn bằng cách coi   là tam thức bậc hai theo biến  .

•  (thỏa mãn)

• Toán:   (bạn)
• Ngữ văn:   (bạn)
• Anh:   (bạn)
• Âm nhạc:   (bạn)

• Trong  ,   là đường phân giác của   ( ).
  Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
  
• Trong  ,   là đường phân giác của   ( ).
  Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
  
• Vì   là trung tuyến của   nên   là trung điểm của  .
  Từ đó, ta suy ra:  .
• Từ (1) và (2), suy ra:  .
• Xét  , có  , theo định lí Ta-lét đảo, ta có   (đpcm).

• Vì  , gọi   là giao điểm của   và  .
• Xét   có   (do  ), theo hệ quả định lí Ta-lét:
  
• Xét   có   (do  ), theo hệ quả định lí Ta-lét:
  
• Từ (3) và (4), suy ra:  .
• Mà   (do   là trung tuyến), nên  .
• Vậy   là trung điểm của   (đpcm).

• Các số từ 1 đến 6 gồm: 1 (không là số nguyên tố cũng không là hợp số), 2 (nguyên tố), 3 (nguyên tố), 4 (hợp số), 5 (nguyên tố), 6 (hợp số).
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:   (có 2 kết quả).
• Xác suất của biến cố A là:  .

• Trong các số từ 1 đến 6, ta kiểm tra:  ;  .
• Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:   (có 2 kết quả).
• Xác suất của biến cố B là:  .

• Xét tính hợp lý: Không hợp lý.
• Giải thích: Cụm từ "mọi người" ám chỉ tỷ lệ  . Tuy nhiên, theo bảng số liệu, chỉ có   khách hàng (tương ứng 13%) chọn Oppo. Vẫn còn rất nhiều khách hàng lựa chọn các hãng khác như Samsung, Iphone và Xiaomi.

• Xét tính hợp lý: Không hợp lý.
• Giải thích: Cụm từ "hàng đầu" thường dùng cho thương hiệu có số lượng người lựa chọn cao nhất (đứng vị trí số 1). Trong bảng này, Samsung có số người chọn cao nhất (39 khách hàng), tiếp theo là Iphone (37 khách hàng). Oppo chỉ đứng thứ 3 về số lượng người chọn, do đó không thể coi là sự lựa chọn "hàng đầu".

D=(2x2−2x)+(3y2−2y)+(4z2−2z)+2

Biến đổi từng phần:

\(2 x^{2} - 2 x = 2 \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} - \frac{1}{2}\) \(3 y^{2} - 2 y = 3 \left(\left(\right. y - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2} - \frac{1}{3}\) \(4 z^{2} - 2 z = 4 \left(\left(\right. z - \frac{1}{4} \left.\right)\right)^{2} - \frac{1}{4}\)

✏️ Thay vào:

\(D = 2 \left(\left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + 3 \left(\left(\right. y - \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2} + 4 \left(\left(\right. z - \frac{1}{4} \left.\right)\right)^{2} + 2 - \left(\right. \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \left.\right)\)

Tính số:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12}\) \(2 - \frac{13}{12} = \frac{11}{12}\)

✅ Kết luận:

Dmin⁡=1112D_{\min} = \frac{11}{12}Dmin​=1211​

khi:

\(x = \frac{1}{2} , \textrm{ }\textrm{ } y = \frac{1}{3} , \textrm{ }\textrm{ } z = \frac{1}{4}\)