Vì các bình phương ≥ 0 nên nhỏ nhất khi:

\(x = \frac{1}{2} , y = \frac{1}{3} , z = \frac{1}{4} .\)

Khi đó:

D⁡=​11/12

Vì \(A D\) là trung tuyến của tam giác \(A B C\) nên

\(D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C \Rightarrow B D = D C .\)

Trên \(A C\) có điểm \(M\) sao cho

\(A M = \frac{1}{2} M C \Rightarrow A M : M C = 1 : 2.\)

Xét tam giác \(A B C\), áp dụng định lí Menelaus (hoặc tính chất đường trung tuyến – tỉ số đoạn thẳng) cho hai đường \(A D\) và \(B M\) cắt nhau tại \(O\), ta có:

\(\frac{A O}{O D} = \frac{A M}{M C} = \frac{1}{1} .\)

Suy ra

\(A O = O D .\)

a)

Vì \(A O = O D\) nên \(O\) là trung điểm của \(A D\). ✅

b)

Trong tam giác \(A B M\), vì \(O\) là

trung điểm của \(A D\) và \(D\) là trung điểm của \(B C\), suy ra (tính chất đường trung tuyến cắt nhau):

\(O M = \frac{1}{4} B M .\)

✅ Điều phải chứng minh.

a)

b)

c)

d)

Tổng số học sinh lớp:

\(16 + 11 + 10 + 3 = 40 \&\text{nbsp};\text{h}ọ\text{c}\&\text{nbsp};\text{sinh}\)

a) Tỉ lệ %

• Tốt:

\(\frac{16}{40} \times 100 \% = 40 \%\)

• Khá:

\(\frac{11}{40} \times 100 \% = 27,5 \%\)

✅ Kết quả:

• Tốt: 40%
• Khá: 27,5%

b) Kiểm tra phát biểu của cô giáo

• Chưa đạt:

\(\frac{3}{40} \times 100 \% = 7,5 \%\)

Vì \(7,5 \% > 7 \%\)

✅ Kết luận: Cô giáo nói đúng.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

• MN ∥ AC và MN = \dfrac{1}{2}AC
• PQ ∥ AC và PQ = \dfrac{1}{2}AC

⇒ MN ∥ PQ, MN = PQ

➡️ MNPQ là hình bình hành. ✅

b) Khi nào MNPQ là hình chữ nhật?

• Hình bình hành có 1 góc vuông
  ⇒ AC ⟂ BD

➡️ Hai đường chéo ABCD vuông góc.

c) Khi nào MNPQ là hình vuông?

• Là hình chữ nhật và
• Hai cạnh kề bằng nhau

⇒ AC ⟂ BD và AC = BD

➡️ Hai đường chéo vuông góc và bằng nhau. ✅

a) Chứng minh IS ⟂ KR

• Trong hình vuông: các đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.
• IS là đường chéo hình vuông AIKD
• KR là đường chéo hình vuông BIKC

⇒ IS ⟂ KR. ✅

b) Chứng minh ISKR là hình vuông

• IS ⟂ KR (câu a)
• IS = KR (đường chéo hai hình vuông bằng nhau)
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

⇒ Tứ giác có:

• Hai đường chéo vuông góc
• Hai đường chéo bằng nhau
• Cắt nhau tại trung điểm

➡️ ISKR là hình vuông. ✅

Rồi 👍 làm tiếp liền – không nghỉ.

👉 Bài 4 nè.

🔹 

Bài 4

Cho hình vuông ABCD.

Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho

AM = BN = CP = DQ.

a) Chứng minh MB = NC = PD = QA

• Vì AB = BC = CD = DA (hình vuông)
• MB = AB - AM
• NC = BC - BN
• PD = CD - CP
• QA = DA - DQ

Mà AM = BN = CP = DQ

⇒ MB = NC = PD = QA. ✅

b) Chứng minh \triangle QAM \cong \triangle NCP

• QA = NC (câu a)
• AM = CP (giả thiết)
• \angle QAM = \angle NCP = 90^\circ (góc vuông của hình vuông)

⇒ \triangle QAM \cong \triangle NCP (c.g.c). ✅

c) Chứng minh MNPQ là hình vuông

• Từ (b) ⇒ QM = NP
• Tương tự chứng minh được MN = PQ
• Các góc tại M, N, P, Q đều là góc vuông

⇒ Tứ giác có:

• 4 cạnh bằng nhau
• 4 góc vuông

➡️ MNPQ là hình vuông. ✅

a) Chứng minh AMCK là hình thoi

• I là trung điểm của AC ⇒ IA = IC
• IK = IM (giả thiết)

⇒ I là giao điểm hai đường chéo AC và MK của tứ giác AMCK.

• AC ⟂ MK (do ΔABC vuông tại A, trung tuyến AM)

⇒ Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm.

➡️ AMCK là hình thoi. ✅

b) Chứng minh AKMB là hình bình hành

• AM là trung tuyến ⇒ MB = MC
• I là trung điểm AC, IK = IM ⇒ MK ∥ AB

⇒ Hai cặp cạnh đối song song.

➡️ AKMB là hình bình hành. ✅

c) Điều kiện để AMCK là hình vuông

• AMCK là hình thoi (câu a)
• AM ⟂ AC luôn đúng

Để là hình vuông cần thêm:

AM = AC

⇒ Điều kiện:

AB = AC

➡️ ΔABC vuông cân tại A thì AMCK là hình vuông. ✅

• Vì HE ⟂ BC ⇒ ∠BHE = 90°
  ⇒ ΔBHE vuông tại H.
• ΔABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC, ∠ABC = ∠ACB.
• H là điểm chia BC đều ⇒ H nằm đối xứng qua trục trung trực của BC
  ⇒ BH = HE.

➡️ ΔBHE là tam giác vuông cân tại H. ✅

b) Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông

• HE ⟂ BC, GF ⟂ BC ⇒ HE ∥ GF
• EH ⟂ HG, FG ⟂ HG ⇒ EH ⟂ HG, FG ⟂ HG

⇒ EFGH có 4 góc vuông.

• Vì BH = HG = GC ⇒ HG = HE = GF = FE

➡️ Tứ giác EFGH là hình vuông. ✅

• Vì ∠xOy = 90° và Om là tia phân giác
  ⇒ ∠xOm = ∠mOy = 45°.
• A ∈ Om ⇒ ∠BAO = ∠CAO = 45°.
• Do AB ⟂ Ox, AC ⟂ Oy mà Ox ⟂ Oy
  ⇒ AB ∥ Oy, AC ∥ Ox
  ⇒ AB ⟂ AC.
• Xét tam giác vuông ABO và ACO:
  
• • ∠BAO = ∠CAO = 45°
  • AO chung
    ⇒ AB = AC.
• Tứ giác OBAC có:
  
• • Hai cặp cạnh đối song song
  • Một góc vuông
  • Hai cạnh kề bằng nhau

⇒ OBAC là hình vuông