Cho tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC, đường cao 𝐴 𝐻 AH. Gọi 𝐼 I là trung điểm 𝐴 𝐶 AC. Lấy 𝐷 D thuộc tia 𝐻 𝐼 HI sao cho 𝐼 𝐻 = 𝐼 𝐷 IH=ID. Chứng minh tứ giác 𝐴 𝐻 𝐶 𝐷 AHCD là hình chữ nhật. Chứng minh 1. Chứng minh 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐴 𝐶 AH⊥AC Vì 𝐴 𝐻 AH là đường cao của tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC, nên 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 AH⊥BC Nhưng ta đang xét tứ giác 𝐴 𝐻 𝐶 𝐷 AHCD, trong đó cạnh đối diện 𝐴 𝐻 AH là 𝐶 𝐷 CD. Chưa dùng được ngay, ta tiếp tục biến đổi. 2. Chứng minh 𝐼 I là trung điểm của 𝐻 𝐷 HD Do 𝐼 𝐻 = 𝐼 𝐷 IH=ID, nên 𝐼 I là trung điểm của đoạn 𝐻 𝐷 HD. 3. Chứng minh 𝐶 𝐼 ∥ 𝐻 𝐷 CI∥HD Vì 𝐼 I là trung điểm của 𝐴 𝐶 AC, nên 𝐼 I là trung điểm của đoạn 𝐴 𝐶 AC. Ta đã có: 𝐼 I là trung điểm của 𝐴 𝐶 AC 𝐼 I là trung điểm của 𝐻 𝐷 HD → Khi đó hai đoạn 𝐴 𝐶 AC và 𝐻 𝐷 HD song song: 𝐴 𝐶 ∥ 𝐻 𝐷 AC∥HD 4. Suy ra các góc vuông Vì 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 AH⊥BC. Mặt khác 𝐴 𝐶 AC là cạnh của tứ giác, và 𝐻 𝐷 ∥ 𝐴 𝐶 HD∥AC. → Suy ra: 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐴 𝐶 v a ˋ 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐶 𝐷 AH⊥ACv a ˋ AH⊥CD 5. Kết luận tứ giác là hình chữ nhật Tứ giác 𝐴 𝐻 𝐶 𝐷 AHCD có Một góc vuông tại 𝐴 A: 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐴 𝐶 AH⊥AC Một góc vuông tại 𝐻 H hoặc tại 𝐷 D: vì 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐶 𝐷 AH⊥CD Tứ giác có hai góc vuông kề nhau ⇒ là hình chữ nhật.