Kích thước của cả khung ảnh là \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\) cm (Điều kiện: \(x > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là: S = \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² thì  \(S = 4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513\)

\(\Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq x \leq 1\). Vì \(x > 0\) nên \(x \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

a) ​nΔ​​=(3;4);nΔ1​​​=(5;−12).​

\(cos ⁡ \alpha = \mid cos ⁡ \left(\right. \overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} ; \overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} \left.\right) \mid = \frac{\mid 3.5 + 4. \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{5.13} = \frac{33}{65}\).

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4 x - 3 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid 12 + 6 + m \mid}{5} = 6\).

Tìm được \(m = - 48\)(TM), \(m = 12\) (TM)

Vậy có hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4 x - 3 y - 48 = 0\) và \(4 x - 3 y + 12 = 0\).

a) Ta có \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) có \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m + 5 \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\)

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương (cùng dấu hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta^{'} < 0\) \(\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0\).

Xét tam thức \(h \left(\right. m \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\) có \(\Delta_{m} = 9 - 4. \left(\right. - 4 \left.\right) = 25 > 0\) nên \(h \left(\right. m \left.\right)\) có hai nghiệm là \(m_{1} = - 1\) và \(m_{2} = 4\).

Ta có bảng xét dấu của \(h \left(\right. m \left.\right)\):

Do đó \(h \left(\right. m \left.\right) < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Hay \(\Delta^{'} < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Vậy \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\) thì tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Bình phương hai vế ta được: \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm \(S = 4\).

Ta có: \(d\) // \(\Delta : x + 4 y - 2 = 0 \Rightarrow\) Phương trình \(d\) có dạng: \(x + 4 y + c = 0\).

Mặt khác: \(d \left(\right. A , d \left.\right) = 3 \Rightarrow \frac{\mid - 2 + 4.3 + c \mid}{\sqrt{1 + 16}} = 3 \Rightarrow \mid 10 + c \mid = 3 \sqrt{17}\)

⇒[​c=317​−10 c=−317​−10​⇒[​d1​:x+4y+317​−10=0d2​:x+4y−317​−10=0 ​

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(x + 4 y + 3 \sqrt{17} - 10 = 0\); \(x + 4 y - 3 \sqrt{17} - 10 = 0\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được: \(2 x^{2} + 5 = x^{2} - x + 11 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 3\).

Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình: \(\sqrt{13} = \sqrt{13}\) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x = - 3\) vào phương trình: \(\sqrt{23} = \sqrt{23}\) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là {2;−3}

hi bán hết \(x\) sản phẩm thì số tiền thu được là: \(170 x\) (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là \(170 x \geq x^{2} + 30 x + 3 300 \Leftrightarrow x^{2} - 140 x + 3 300 \leq 0\).

Xét \(x^{2} - 140 x + 3 300 = 0 \Rightarrow x = 30\) hoặc \(x = 110\).

Ta có: \(x^{2} - 140 x + 3 300 \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\right. 30 ; 110 \left]\right.\).

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ \(30\) đến \(110\) sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.