Kích thước của cả khung ảnh là \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\) cm (Điều kiện: \(x > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là: S = \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² thì  \(S = 4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513\)

\(\Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq x \leq 1\). Vì \(x > 0\) nên \(x \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

a) 

\(& \overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} = \left(\right. 3 ; 4 \left.\right) ; \\ & \overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} = \left(\right. 5 ; - 12 \left.\right) .\)

\(cos ⁡ \alpha = \mid cos ⁡ \left(\right. \overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} ; \overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} \left.\right) \mid = \frac{\mid 3.5 + 4. \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{5.13} = \frac{33}{65}\).

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4 x - 3 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid 12 + 6 + m \mid}{5} = 6\).

Tìm được \(m = - 48\)(TM), \(m = 12\) (TM)

Vậy có hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4 x - 3 y - 48 = 0\) và \(4 x - 3 y + 12 = 0\).

a) Ta có \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) có \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m + 5 \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\)

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương (cùng dấu hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta^{'} < 0\) \(\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0\).

Xét tam thức \(h \left(\right. m \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\) có \(\Delta_{m} = 9 - 4. \left(\right. - 4 \left.\right) = 25 > 0\) nên \(h \left(\right. m \left.\right)\) có hai nghiệm là \(m_{1} = - 1\) và \(m_{2} = 4\).

Ta có bảng xét dấu của \(h \left(\right. m \left.\right)\):

Do đó \(h \left(\right. m \left.\right) < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Hay \(\Delta^{'} < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Vậy \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\) thì tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Bình phương hai vế ta được: \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm \(S = 4\).

Ta có: \(d\) // \(\Delta : x + 4 y - 2 = 0 \Rightarrow\) Phương trình \(d\) có dạng: \(x + 4 y + c = 0\).

Mặt khác: \(d \left(\right. A , d \left.\right) = 3 \Rightarrow \frac{\mid - 2 + 4.3 + c \mid}{\sqrt{1 + 16}} = 3 \Rightarrow \mid 10 + c \mid = 3 \sqrt{17}\)

⇒​c=3√17​−10 hoặc c=−3√17​−10

​⇒​d1​x+4y+3√17​−10=0 hoặc d2​:x+4y−3√17​−10=0 ​

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: \(x + 4 y + 3 \sqrt{17} - 10 = 0\); \(x + 4 y - 3 \sqrt{17} - 10 = 0\).

a) Gọi \(C \left(\right. x_{C} ; y_{C} \left.\right)\).

Ta có: \(\overset{\rightarrow}{O C} = \left(\right. x_{C} ; y_{C} \left.\right)\), \(\overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. - 2 ; 5 \left.\right) \Rightarrow - 3 \overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. 6 ; - 15 \left.\right)\);

OC=−3AB

⇔​xC​=6 và yC​=−15

⇒C(6;−15)

b) \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\) hay \(C\) là trung điểm của AD

⇔​​xC​=(xA​+xD)/2​​ và yC​=(yA​+yD)/2

⇔​ ​xD​=2xC​−xA​=2.6−3=9 và yD​=2yC​−yA​=2(−15)−(−5)=−25​​​​

\(\Rightarrow D \left(\right. 9 ; - 25 \left.\right)\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được: \(2 x^{2} + 5 = x^{2} - x + 11 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 3\).

Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình: \(\sqrt{13} = \sqrt{13}\) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x = - 3\) vào phương trình: \(\sqrt{23} = \sqrt{23}\) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là S={2;−3}. 

Khi bán hết \(x\) sản phẩm thì số tiền thu được là: \(170 x\) (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là \(170 x \geq x^{2} + 30 x + 3 300 \Leftrightarrow x^{2} - 140 x + 3 300 \leq 0\).

Xét \(x^{2} - 140 x + 3 300 = 0 \Rightarrow x = 30\) hoặc \(x = 110\).

Bảng xét dấu \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} - 140 x + 3 300\):

∞!aaaaa + ∞ − + ∞ − xf(x)00 + 30110

Ta có: \(x^{2} - 140 x + 3 300 \leq 0 \Leftrightarrow x \in \left[\right. 30 ; 110 \left]\right.\).

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ \(30\) đến \(110\) sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

Gọi \(s\) là quãng đường viên đá đi được sau khoảng thời gian \(t\) kể từ khi bắt đầu rơi tới khi chạm đất

\(s_{1}\) là quãng đường viên đá đi được trước khi chạm đất 1 s, tức là sau khoảng thời gian \(t_{1} = t - 1\)

Ta có: \(s = \frac{1}{2} g t^{2}\) và \(s_{1} = \frac{1}{2} g \left(\left(\right. t - 1 \left.\right)\right)^{2}\)

Quãng đường viên đá đi được trong 1 s cuối trước khi chạm đất là:

\(\Delta s = s - s_{1} = \frac{1}{2} g t^{2} - \frac{1}{2} g \left(\left(\right. t - 1 \left.\right)\right)^{2} = g t - \frac{1}{2} g\)

\(\Rightarrow t = \frac{\Delta s}{g} + \frac{1}{2} = \frac{14 , 7}{9 , 8} + \frac{1}{2} = 2\) s

a. Vẽ đồ thị độ dịch chuyển – thời gian của Nam.

b. Mô tả chuyển động của Nam:

- Từ 0 – 15 giây: Nam chuyển động thẳng đều với vận tốc: \(\text{v}_{1} = \frac{\Delta d_{1}}{\Delta t_{1}} = \frac{30}{15} = 2\) m/s

- Từ giây thứ 15 đến giây thứ 25: Nam đứng yên (dừng lại).

c. Vận tốc của Nam trong 15 s đầu là:

\(\text{v}_{1} = \frac{\Delta d_{1}}{\Delta t_{1}} = \frac{30}{15} = 2\) m/s

Vận tốc của Nam trong suốt quá trình chuyển động:

\(\text{v} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{30}{25} = 1 , 2\) m/s

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của ô tô, gốc thời gian lúc bắt đầu hãm phanh.

Đổi 64,8 km/h = 18 m/s; 54 km/h = 15 m/s; 36 km/h = 10 m/s

a. Gia tốc của ô tô:

\(a = \frac{\text{v}_{1} - \text{v}_{0}}{\Delta t} = \frac{15 - 18}{10} = - 0 , 3\) m/s²

Thời gian kể từ khi hãm phanh đến khi ô tô đạt vận tốc v₂ = 36 km/h = 10 m/s là:

\(\text{v} = \text{v}_{0} + a t \Rightarrow t = \frac{\text{v}_{2} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{10 - 18}{- 0 , 3} = 26 , 7\) s

b. Thời gian kể từ khi hãm phanh đến khi ô tô dừng hẳn \(\text{v}_{3} = 0\) là:

\(t^{'} = \frac{\text{v}_{3} - \text{v}_{0}}{a} = \frac{0 - 18}{- 0 , 3} = 60\) s

c. Ta có: \(\text{v}_{2}^{2} - \text{v}_{0}^{2} = 2 a s\)

Vậy quãng đường ô tô đi được đến khi dừng hẳn là:

\(s = \frac{\text{v}_{3}^{2} - \text{v}_{0}^{2}}{2 a} = \frac{0 - 1 8^{2}}{2 \left(\right. - 0 , 3 \left.\right)} = 540\) m