\(\overrightarrow{n}\)▲= ( 3;4)

​.\(\overrightarrow{n}\)▲_{1 = ( 5;-12)}

\(\cos\)α =\(\dfrac{\left|3.5+4.\left(-12\right)\right|}{5.13}\)=  \(\dfrac{33}{65}\)

b) $(C)$ có tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=6$

Đường thẳng $d$ có dạng $4x-3y+m=0$ ($m$ khác $7$)

�d tiếp xúc $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,d)=$R⇔\(\dfrac{\left|12+6+m\right|}{5}\)= 6

Tìm được 

$Tìm\; được\; m=-48$(TM) , $m=12$ (TM)

Vậy có hai đường thẳng $d$ thỏa mãn là $4x-3y-48=0$ và $4x-3y+12=0$.

a) Ta có �(�)=�2+2(�−1)�+�+5f(x)=x2+2(m−1)x+m+5 có Δ′=(�−1)2−(�+5)=�2−3�−4Δ′=(m−1)2−(m+5)=m2−3m−4

Lại có hệ số $a=1>0$.

Để $f(x)$ luôn dương (cùng dấu hệ số $a$) với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì Δ′<0Δ′<0 ⇔�2−3�−4<0⇔m2−3m−4<0.

Xét tam thức ℎ(�)=�2−3�−4h(m)=m2−3m−4 có Δ�=9−4.(−4)=25>0Δm​=9−4.(−4)=25>0 nên $h(m)$ có hai nghiệm là �1=−1m1​=−1 và �2=4m2​=4.

Ta có bảng xét dấu của $h(m)$:

Do đó $h(m)<0$ với mọi $x\in (-1;4)$

Hay Δ′<0Δ′<0 với mọi $x\in (-1;4)$

Vậy $x\in (-1;4)$ thì tam thức bậc hai �(�)=�2+(�−1)�+�+5f(x)=x2+(m−1)x+m+5 dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Bình phương hai vế ta được: 2�2−8�+4=�2−4�+42x2−8x+4=x2−4x+4

⇔�2−4�=0⇔x2−4x=0

Suy ra $x=0$ hoặc $x=4$

Thử lại nghiệm được $x=4$ thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm $S=4$.