Ta đã chứng minh được

😊 Áp dụng định lý Ta-lét: - $MN // AB \Rightarrow \frac{MN}{AB} = \frac{DN}{DB}$ (1) - $PQ // AB \Rightarrow \frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{CB}$ (2) Mặt khác, $AB // CD \Rightarrow \frac{DN}{DB} = \frac{CQ}{CB}$ (3) Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \frac{MN}{AB} = \frac{PQ}{AB} \Rightarrow MN = PQ$

Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Vì $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $G \in BN$ và $BG = 2GN$. Vì $GM // AB$, theo định lý Ta-lét: $\frac{BM}{BN} = \frac{BG}{BN} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BN$ Mà $N$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow BN$ là trung tuyến $\Rightarrow BN = \frac{1}{2}BC$ $\Rightarrow BM = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{3}BC$

Xét $\triangle AOB$ và $\triangle COD$ có: - $\angle AOB = \angle COD$ (đối đỉnh) - $\angle OAB = \angle OCD$ ($AB // CD$, so le trong) $\Rightarrow \triangle AOB \sim \triangle COD$ (g.g) $\Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \Rightarrow OA.OD = OB.OC$

😊 Để chứng minh điều đó, ta có thể làm như sau: Vì $DE // AB$, theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{AE}{AB} = \frac{CD}{BC}$ (1) Vì $DF // AC$, theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{AF}{AC} = \frac{BD}{BC}$ (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được: $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = \frac{CD}{BC} + \frac{BD}{BC} = \frac{CD + BD}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1$ Vậy $\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = 1$