---

a) Chứng minh tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Vì AI là đường cao của tam giác ABC nên AI vuông góc với BC.

Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, nên Ax song song với BC.

Từ B kẻ tia By song song với AC.

→ Suy ra: Ax song song By và AC song song BC.

Gọi M là giao điểm của Ax và By. Khi đó tứ giác AMBQ có:

AM song song BQ (vì cùng song song AC),

AB song song MQ (vì cùng song song Ax).

⇒ Tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

---

b) Chứng minh tam giác PIQ cân

Gọi P là trung điểm AB ⇒ MP là đường trung bình của hình chữ nhật AMBQ, nên MP song song và bằng AQ.

MP cắt AC tại Q, BQ cắt AI tại H (theo đề).

Do tính chất hình chữ nhật: các góc đều vuông, các cạnh đối song song, nên hai đường MP và AQ cắt nhau tại Q tạo ra hai tam giác bằng nhau qua phép đối xứng.

⇒ Hai cạnh PI và IQ bằng nhau.

Kết luận: Tam giác PIQ cân tại I.

Hình thang vuông có hai góc vuông tại A và D nên và .

Gọi M là trung điểm của AC, ta có ⇒ M là trung điểm của BD.

Do đó, AC song song BD và AD vuông góc AB.

Vậy tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và các góc vuông ⇒ là hình chữ nhật.

Vì AH là đường cao nên AH vuông góc với AC.

I là trung điểm AC ⇒ HI song song AC.

Lấy D trên tia HI sao cho IH = ID ⇒ I là trung điểm HD ⇒ AC song song HD.

Tứ giác AHCD có hai cặp cạnh đối song song và vuông góc ⇒ AHCD là hình chữ nhật.