14

a) Tứ giác nội tiếp

Ta có:

Các tiếp tuyến và với đường tròn từ điểm tạo với đường tròn các góc vuông tại các tiếp điểm và .

Do đó, .

Bây giờ xét tứ giác :

Tứ giác có các góc tại các đỉnh , , , và .

Ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện trong tứ giác này là 180°.

Xét góc tại đỉnh và góc tại đỉnh . Ta có do tính chất của các tiếp tuyến.

Điều này chứng tỏ rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) .

Giải thích: Dây cắt đường thẳng tại điểm và cắt đường thẳng tại điểm .

Áp dụng định lý giao điểm của hai tiếp tuyến:

Theo định lý giao điểm của các tiếp tuyến, ta có:

\text{Tích của các đoạn tiếp tuyến} = \text{tích của các đoạn từ điểm ngoài đến các điểm cắt}.

MA \cdot MB = MC \cdot MD

Vì và là các đoạn nối từ đến các điểm cắt, ta chứng minh rằng , bởi vì các đoạn này có liên quan trực tiếp đến các tiếp tuyến từ và các đoạn nối từ .

c) Khi điểm di chuyển trên đường thẳng , thì dây luôn đi qua một điểm cố định.

Giải thích:

Khi điểm di chuyển trên đường thẳng , các tiếp tuyến và với đường tròn luôn thay đổi, nhưng vẫn giữ tính chất vuông góc với các bán kính tại các tiếp điểm và .

Dây luôn cắt đường thẳng tại điểm và cắt đường thẳng tại điểm . Mặc dù vị trí của điểm thay đổi, nhưng các tính chất hình học của tam giác và tiếp tuyến tạo ra một điểm cố định mà tất cả các dây đều đi qua. Điểm này chính là điểm cố định của giao điểm của các dây khi di chuyển trên đường thẳng .

Ta có thể kết luận rằng khi điểm di chuyển trên đường thẳng , dây luôn đi qua một điểm cố định, và điểm này chính là điểm .

Kết luận:

1. Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

2. .

3. Khi điểm di chuyển trên đường thẳng , dây luôn đi qua

một điểm cố định.

12km/h

a) x1=1 x2=-3 b)m=2/6= 1/3

4x/√x -3