Ta có \(A I = \frac{2 A O}{3} = \frac{2 R}{3}\) suy ra \(O I = R - \frac{2 R}{3} = \frac{R}{3}\)

\(\Delta O C I\) vuông tại \(O\), ta có:

\(C I = \sqrt{O C^{2} + O I^{2}} = \sqrt{R^{2} + \left(\right. \frac{R}{3} \left.\right)^{2}} = \frac{R \sqrt{10}}{3}\) nội tiếp đường tròn  có cạnh \(C D\) là đường kính

Suy ra \(\Delta C E D\) vuông tại \(E\)

Hai tam giác vuông \(O C I\) và \(C E D\) có \(\hat{C}\) :chung 

Suy ra \(\Delta C O I \sim \Delta C E D\)

Suy ra \(\frac{C O}{C E} = \frac{C I}{C D}\)

\(C E = \frac{C O . C D}{C I} = \frac{R . 2 R}{R \frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{6 R}{\sqrt{10}} = \frac{3 R \sqrt{10}}{5}\).

a) Gọi \(E , F\) là tiếp điểm của đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) với các cạnh \(A B , A C\)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \(A E = A F ; B E = B D ; C D = C F\)

Do đó: \(2 B D = B D + B E = B C - C D + A B - A E\)

\(= B C + A B - \left(\right. C D + A E \left.\right) = B C + A B - \left(\right. C F + A F \left.\right)\)

\(= B C + A B - A C\) suy ra \(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

b) ta có: \(D C = \frac{B C + A C - A B}{2}\) mà \(A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}\) (\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\)),

do đó:

\(B D . D C = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4}\)

\(\frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} = \frac{B C^{2} - A B^{2} - A C^{2} + 2 A B . A C}{4}\)

\(= \frac{A B . A C}{2} = S_{A B C}\).

2

1

2