a) Vì ABCD là hình bình hành nên: AO=OC,BO=OD(hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Xét ΔOBM và ΔODP có:

     OB=OD ( Chứng minh trên)

     OBM=ODP (2 góc so le trong)

     BOM=DOP (2 góc đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: ΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra: OQ=ON (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác MNPQ có: OM=OP(chứng minh trên) OQ=ON(chứng minh trên) suy ra MNPQ là hình bình hành

b) Hình bình hành MNPQ có: MP⊥NQ(Vì n ⊥ m,mà MP thuộc m,QN thuộc n) Suy ra:MNPQ là hình thoi

Vì ABCD  là hình bình hành suy ra: AB//CD,AD//BC

Tứ giác AMCN có: 

AM=CN

AM//CN

suy ra:AMCN là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có 

AM=DN

AM//DN

suy ra:AMND là hình bình hành

Ta có:AD // MN

AD⊥AC

suy ra:MN⊥AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMCN là hình thoi.

Ta có ABCD là hình thoi nên:  AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC Suy ra: GA=GC,HA=HC (1) Vì AC là trung trực của BD suy ra: AG=AH,CG=CH (2) Từ (1),(2)suy ra:AG=GC=CH=HA nên: AGCH là hình thoi.