XÉT △ABG có NA=NC, PB= PG

⇒PN là đg trung điểm của tam giác ABG

⇒PN=\(\frac12\) AG (1)

PN//AG(2)

XÉT TAM GIÁC ACM CÓ

MA=MC,QC=QG⇒QN là trung bình của △ACG

⇒QM=\(\frac12\) AG(3)

QM//AG(4)

TỪ (2) và (4)⇒pn//QM

TỪ (1) VÀ(3)⇒PN=QM=\(\frac12\) AG

SUY RA PQMN là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối // và = là hbh)

GT: HBH ABCD . AH ⊥BD tại H

CK ⊥BD tại K .I là trung điểm của HK

KL:TỨ GIÁC AHCK là hình bình hành

giải

VÌ ABCD là hình bình hành(gt)nên AD =BC ,AD//BC

DO AD//BC(CMT) nên GÓC ADH=GÓC CBK(SO LE TRONG )

XÉT △ADH và △CBK ta có

ADH =CBK= 90 độ

AD=BC(CMT)

GÓC ADH = GÓC CBK(AD//BC)

⇒△ADH= △CBK( CẠNH HUYỀN -GÓC NHỌN )

SUY RA AH=CK( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)

ta có AH//CK(VÌ AH ⊥DB, CK ⊥DB)

SUY RA AHCK là hình bình hành

b,do AHCKlà HBH .I là trung điểm của HK (GT)

SUY RA I là trung điểm của AC

DO ABCD là HBH

I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC(CMT)

⇒I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BD

SUY RA IB=ID

GT: HBH ABCD . AH ⊥BD tại H

CK ⊥BD tại K .I là trung điểm của HK

KL:TỨ GIÁC AHCK là hình bình hành

giải

VÌ ABCD là hình bình hành(gt)nên AD =BC ,AD//BC

DO AD//BC(CMT) nên GÓC ADH=GÓC CBK(SO LE TRONG )

XÉT △ADH và △CBK ta có

ADH =CBK= 90 độ

AD=BC(CMT)

GÓC ADH = GÓC CBK(AD//BC)

⇒△ADH= △CBK( CẠNH HUYỀN -GÓC NHỌN )

SUY RA AH=CK( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)

ta có AH//CK(VÌ AH ⊥DB, CK ⊥DB)

SUY RA AHCK là hình bình hành

b,do AHCKlà HBH .I là trung điểm của HK (GT)

SUY RA I là trung điểm của AC

DO ABCD là HBH

I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC(CMT)

⇒I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BD

SUY RA IB=ID

GT: HBH ABCD .B là trung điểm của AE

C là trung điểm của DF

KL: TỨ GIÁC AEFD ,ABFC là hình bình hành

các trung điểm AF, DE,BC trùng nhau

GIẢI

vì ABCD là hình bình hành(GT)nên AB=CD, AB//CD MÀ

B∈AE, C∈DE

⇒AE=DF

AB=BE= 1/2 AE

DC=CF=1/2DF

TỨ GIÁC AEFD có AE//DF (AB//DC)VÀ AE=DF (CMT)

DO đó tứ giác AEFD là hình bình hành

tứ giác ABFC có AB//FC (AB//CD)VÀ AB=FC (CMT)

DO đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b, VÌ hình bình hành AEFD CÓ HAI ĐƯỜNG CHÉO À VÀ BC CẮT NHAU TẠI GIAO ĐIỂM O MÀ

HBH AEFD CÓ hai đường chéo là AF và BC

MÀ O Là trung điểm của AF

⇒O cũng là trung điểm của BC

VẬY trung điểm của ba đoạn thẳng AF,BC,DE TRÙNG NHAU

GT: hình bình hành ABCD .E,F là trung điểm của AD ,BC

KL:TỨ giác EBFD LÀ hbh .O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

BA điểm E,O,F thẳng hàng

giải

vì ABCD là hình bình hành(GT) nên

AD//BC VÀ AD=BC

MÀ E,F là trung điểm của AD, BC

suy ra AE=DE=1/2AD ,BF=CF=1/2BC

XÉT tứ giác EBFD ta có

DE//BF(AD//BC)

DE=BF

⇒TỨ GIÁC EBFD là hình bình hành

b, VÌ ABCD là hình bình hành (gt) nên

O là trung điểm của đường chéo ACvà BD

MÀ EBFD cũng là hình bình hành (gt)nên

O LÀ đường trung điểm của EF

⇒E,O,F thẳng hàng

GT: O là giao điểm của HBH ABCD .MỘT đường thẳng đi qua O, cắt các cạnh AB CD tại M,N

KL:△OAM và △OCN . MBND LÀ HBH

GIẢI

VÌ ABCD là hình bình hành ,TA CÓ

AC và BD cắt nhau tại O△(GT) nên OA=OC=1/2AC,OB=OD=1/2BD

AB//CD NÊN AM//CN suy ra góc OAM =góc OCN(2 góc so le trong)

xét △OAM và △OCN ta có

góc BAC=góc ACD(GÓC SO LE TRONG)

OA=OC(cmt)

góc AOM= góc CON(góc đói đỉnh)

do đó △OAM=△OCN (g.c.g)

SUY RA AM=CN (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG )

TA có AB=CD (CMT)

MB=AB-AM

ND=DC-DN

⇒MB=ND(1)

TA CÓ AB//CD ⇒BM//DN

VẬY từ (1) và(2) suy ra MBND là hbh (tứ giác có cặp cạnh //và = dó là hbh)

vì ABCD là hình bình hành(GT) nên AB=CD(GT) mà E∈AB ,F∈CD NÊN AE=BE=1/2AB,CF=DF=1/2CD ⇒AE=BE=CF=DF vì AB//CD(GT) mà E∈AB ,F∈CD ⇒AE//DF ,EB//FC .Xét tứ giác AEFD CÓ AE//DF (VÌ AB//CD)AE=DF(cmt) .DO đó TỨ GIÁC AECF là HBH .b,VÌ TỨ GIÁC AEFD LÀ HBH NÊN EF=AD vì TỨ GIÁC AECF LÀ HBH NÊN AF= EC VẬY EF=AD ,AF=EC