a)Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành Chứng minh: Ta có: AH vuông góc BD, CK vuông góc BD -> AH // CK (cùng vuông góc với BD).

Lại có: A, C là hai đỉnh đối của hình bình hành ABCD -> AC là đường chéo của hình bình hành.

H, K nằm trên BD (đường chéo còn lại), nên HK cũng // AC. -> AH // CK và AC // HK -> tứ giác AHCK có 2 cặp cạnh đối song song. => AHCK là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của HK.

Chứng minh IB = ID Chứng minh: BD là đường chéo của hình bình hành => BD cắt AC tại trung điểm mỗi đường.

Gọi O là giao điểm của AC và BD => O là trung điểm của cả AC và BD. H, K là chân đường vuông góc từ A, C xuống BD => AH vuông góc BD, CK vuông góc BD.

-> Tứ giác AHCK là hình bình hành => HK // AC => HK đi qua O (vì O là trung điểm AC và HK // AC).

=> I là trung điểm HK và HK đi qua O => I nằm trên đường trung trực của BD.

-> IB = ID (vì I cách đều 2 đầu mút B và D)

Kết luận: a) Tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)IB=ID

a) AEFD và ABFC là hình bình hành Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ DC và AB = DC,B là trung điểm của AE => AE = 1/2 AB. C là trung điểm của DF => DF = 1/2 DC = 1/2 AB.

Từ AB ∥ DC => AE ∥ DF (vì AE cắt AB tại B, DF cắt DC tại C – hai đoạn chia đôi hai cạnh song song) Do đó trong tứ giác AEFD, AE ∥ DF và AE = DF => AEFD là hình bình hành.

Tương tự, vì AB ∥ DC và dùng các trung điểm, ta có AF ∥ BC và AF = BC => ABFC cũng là hình bình hành.

b) Ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau Gọi M là trung điểm của BC.

Trong hình bình hành AEFD, vì AEFD là hình bình hành nên đường nối các trung điểm hai cạnh đối song song

– theo định lý trung điểm trong tam giác

– cho thấy trung điểm của DE và trung điểm của AF đều trùng với M.

Nói cách khác: trung điểm của AF = trung điểm của DE = trung điểm của BC (là M).

Giả thiết: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC: BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, nên chúng cắt nhau tại trọng tâm G,P và Q là trung điểm của G,B và GC: Theo giả thiết, P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC.

Chứng minh PQ song song với MN và PQ = MN: Tứ giác PQMN có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó PQMN là hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác PQMN là hình bình hành

a) AEFD và ABFC là hình bình hành Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ DC và AB = DC.

B là trung điểm của AE => AE = 1/2 AB.

C là trung điểm của DF => DF = 1/2 DC = 1/2 AB. Từ AB ∥ DC => AE ∥ DF (vì AE cắt AB tại B, DF cắt DC tại C – hai đoạn chia đôi hai cạnh song song)

Do đó trong tứ giác AEFD, AE ∥ DF và AE = DF => AEFD là hình bình hành.

Tương tự, vì AB ∥ DC và dùng các trung điểm, ta có AF ∥ BC và AF = BC => ABFC cũng là hình bình hành. b) Ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi M là trung điểm của BC. Trong hình bình hành AEFD, vì AEFD là hình bình hành nên đường nối các trung điểm hai cạnh đối song song

– theo định lý trung điểm trong tam giác

– cho thấy trung điểm của DE và trung điểm của AF đều trùng với M.

Nói cách khác: trung điểm của AF = trung điểm của DE = trung điểm của BC (là M).

Chứng minh ΔOAM=OCN

và tứ giác MBND là hình bình hành .

Chứng minh ΔOAM=OCN

O là trung điểm của AC => OA=OC. AOM=CON ( góc đối đỉnh) . AB//CN . Đường cắt qua O=>OAM=OCN.

=>ΔOAM=OCN(C.G.C)

Chứng minh MBND là hình bình hành. Từ ΔOAM=OCN =>AM=CN.AB=CN,nên:MB=AB-AM=CD-CN=ND=MB=ND.

=>tứ giác MBND có hai cạnh đối bằng và song song =>là hình bình hành.

Kết luận: ΔOAM=OCN=>MBND là hình bình hành .

a) Chứng minh AEFD là hình bình hành:

Theo giả thuyết, tứ giác AEFD là hình bình hành nên AD//EF AD=EF. Mặt khác, tam giác AFD,AFE là tam giác đều nên tam giác ADF=tam giác AFE

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành.

Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành:

Theo giả thuyết: tứ giác AECFlà hình bình hành nên AF//EC và AF= EC .

Mặt khác ,tam giác AFE =tam giác EFC .

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành.

b) chứng minh EF= AD , AF = EC . Theo giả thuyết của hình bình hành AEFD hai cạnh bên bằng nhau .

Suy ra EF= AD,AF=EC