a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên góc ADB = góc CBD( slt )

Xét DADH và DCBK có:

Góc AHD = góc CKB = 90°

AD = BC (chứng minh trên)

Góc ADH = góc CBK( do góc ABD = góc CBD )

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành \(\)\(\)

a) Ta có: Tứ giác ABCD là hbh 

=> AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

=> AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có :

+BF//ED ( BC//AD )

+BF=ED ( cmt )

=> Tứ giác EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

=> O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : Tứ giác EBFD là hbh ( cmt ) 

=> BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

=> O cũng là trung điểm của EF.

=> 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

=> G là trọng tâm của tam giác.

=> BG = \(\frac23\) BM; GM = \(\frac13\) BM (1)

Mà PG = \(\frac12\) BG = \(\frac12\cdot\frac23\) BM = \(\frac13\) BM (2)

Từ (1), (2) suy ra GM = PG

Tương tự ta cũng có QG = GN

Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> Tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB

Suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

=> AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Mà ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN => góc OMA = góc OCN( 2 góc SLT )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

+ Góc OAM = góc OCN( cmt )

+ OA = OC( cmt )

+ Góc OAM = góc CON( 2 góc đối đỉnh )

=>∆OAM = ∆OCN (g.c.g)

=> AN = CN( hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN

=> BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN => góc OMA = góc OCN( 2 góc SLT )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

+ Góc OAM = góc OCN( cmt )

+ OA = OC( cmt )

+ Góc OAM = góc CON( 2 góc đối đỉnh )

=>∆OAM = ∆OCN (g.c.g)

=> AN = CN( hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN

=> BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.